تدریس فصل اول ریاضی یازدهم انسانی

فصل اول ریاضی و آمار یازدهم انسانی

گزاره ها و ترکیب گزاره ها ریاضی یازدهم انسانی

گزاره چیست؟

گزاره عبارتی است که می توان مقدار درست یا نادرست به آن نسبت داد.

مثال:

• 2 یک عدد زوج است.
• 3 یک عدد زوج است.

هر دو جمله بالا گزاره هستند، زیرا هر یک از آنها ارزش صدق دارند. یکی گزاره واقعی است و اما دومی نادرست است.

اما این یکی چطور:

x یک عدد زوج است.

آیا این یک پیشنهاد است؟ گفتنش سخته بدون درک متغیر x سخته، ما نمی توانیم به این گزاره ارزش صدق بدهیم، بنابراین به خودی خود به نظر نمی رسد واجد شرایط باشد.

اگر اما مقدار x موجود باشد ,می تواند یک گزاره باشد.

عملگرهای پایه و جداول حقیقت

برای درک بیشتر گزاره‌ ها، ابتدا به معرفی ابزار هایی برای انجام محاسبات می ‌پردازیم:

در اینجا ما، گزاره هایی را با متغیرهایی مانند p، q، r نمایش می دهیم. سپس میتوانیم یک ساختار حسابی برای درک چگونگی ترکیب و ارتباط گذاره ها با یگدیگر را داشته باشیم.

1 – ترکیب عطفی:

اولین ترکیب گزاره ما گزاره عطفی است ,روشی جالب برای گفتن «و».

فرض کنید p و q گزاره باشند. پیوند p و q که با p ∧ q نشان داده می شود یک گزاره است.

این گزاره زمانی درست است که p و q هر دو درست باشند، و در هر شرایط اگر یکی از گزاره ها نادرست باشد, پس ترکیب p ∧ q نیز ترکیب گزاره ها نیستند.

این کمی پیچیده به نظر می رسد، بنابراین اجازه دهید این موضوع را با یک مثال غیر ریاضی از هم جدا کنیم.

مثال. گزاره را در نظر بگیرید.

علی یک مهندس و یک دونده است.

برای اینکه این گزاره درست باشد، باید دو چیز هر دو صادق باشند. یعنی ما به آن نیاز داریم.

علی یک مهندس است و علی یک دونده است. اگر p را گزاره ” علی مهندس است” و q را گزاره علی دونده است” در نظر بگیرید، سپس گزاره بالا می تواند به صورت p ∧ q نشان داده شود.

پس واضح است که تنها زمانی ترکیب عطفی درست است که p و q هر دو صادق باشند. اگر هر یک از آنها نادرست باشد, پسp ∧ q نیز قطعا نادرست است.

توجه کنید که مقدار صدق p ∧ q کاملاً به مقادیر صدق p و q وابسته است. علاوه بر این، ما می توانیم چنین کاری را با در نظر گرفتن آنچه به عنوان “جدول حقیقت” شناخته می شود انجام دهیم: جدولی که در آن همه را بر می شمریم.

مقادیر صدق ممکن برای p و q

در سمت چپ این جدول، دو گزاره p و q را می بینیم که پیوند p ∧ q را تشکیل می دهند و

تمام ارزش های واقعی ممکن آنها است. در سمت راست، p ∧ q را می بینیم که مقدار صدق آن کاملاً بر درست و نادرست بودن گزارع تعیین میشود.

پس: p ∧ q ، تنها در صورتی درست است که p و q هر دو درست باشند.

2 – ترکیب فصلی دو گزاره

– اگر دو گزاره داشته باشیم (مثلاً ( p) و ( q ))، ترکیب ( p v q ) («( p ) یا ( q )») زمانی درست است که:

– حداقل یکی از گزاره‌ ها (( p ) یا ( q )) درست باشد.

– مثال:

– گزاره ( p ): «امروز باران می ‌بارد.»

– گزاره ( q ): «امروز آفتابی است.»

– ترکیب ( p v q ): «امروز یا باران می ‌بارد یا آفتابی است.»

اگر باران ببارد یا آفتاب باشد (یا هر دو)، این گزاره درست است!

«یا»ی انحصاری  چیست؟

گاهی در زندگی روزمره، «یا» به معنای انتخاب فقط یکی است. به این نوع «یا»، «یا انحصاری» (( p ⊕ q )) می‌گویند.

– مثال:

– دوستت می ‌پرسد: «برای تفریح یا فوتبال بریم یا والیبال؟»

– پاسخ «هر دو» معنی ندارد! اینجا «یا» انحصاری است: فقط یکی از گزینه ‌ها.

تفاوت «یا» معمولی و «یا» انحصاری:

چرا در ریاضیات «یا» معمولی مهم ‌تر است؟

در بیشتر مسائل ریاضی، از «یا» معمولی ( v ) استفاده می ‌شود، چون انعطاف بیشتری دارد. مثال:

– گزاره ( p v q ): «عدد ( x ) از ۵ کوچک ‌تر است یا زوج است.»

– اگر (3 x =  ) باشد: (هم کوچک‌تر از ۵ است، هم زوج نیست!).

– اگر (6 x =  ) باشد: (زوج است!).

در هر دو مثال بالا ( p v q ) صدق میکند چون یکی از گزاره ها درست است.

۳.  ترکیب شرطی گزاره (⇒) – اگر… آنگاه

فرض کنید ( p ) و ( q ) دو گزاره باشند. گزاره ( p ⇒ q )(خوانده میشود: «اگر ( p )، آنگاه ( q )» در یک حالت نادرست است:

– وقتی ( p ) درست باشد و ( q ) نادرست باشد.

در بقیه حالات، ( p ⇒ q ) درست است.

مثال :

فرض کنید گزاره ( p ): «عدد ( x ) فرد اول است» و گزاره ( q): «( » باشد.

گزاره ( p ⇒q ) یعنی: «اگر ( x ) فرد اول باشد، آنگاه ( ) است».

– این گزاره همیشه درست است، زیرا تمام اعداد فرد اول (مثل ۳، ۵، ۷، …) بزرگتر یا مساوی ۳ هستند.

– اما اگر ( p ) نادرست باشد (مثلاً ( x =2  ) یا ( x =4  ، گزاره ( p ⇒ q ) هنوز هم درست است!

چرا؟ چون گزاره شرطی فقط زمانی نادرست میشود که ( p ) درست باشد اما ( q ) نادرست باشد.

جدول درستی گزاره شرطی (p ⇒  q)

یک اشتباه رایج!

بعضی ها فکر میکنند اگر ( p ⇒ q ) درست باشد، پس ( q ⇒  p ) هم باید درست باشد. این اشتباه است!

– مثال: گزاره «اگر باران ببارد، زمین خیس میشود» درست است. اما گزاره برعکس («اگر زمین خیس باشد، حتماً باران باریده» ممکن است نادرست باشد (مثلاً کسی با شلنگ آب پاشیده باشد!).

4 . گزاره دوشرطی (⇔) – اگر و فقط اگر

گزاره ( p ⇔q ) (خوانده میشود: «( p ) اگر و فقط اگر ( q )») زمانی درست است که ( p ) و ( q ) همیشه مقدار درستی یکسان داشته باشند.

مثال :

– گزاره ( p ): «عدد ( x ) زوج است».

– گزاره ( q ) : « x بر 2 بخش پذیر است. »

– ( p ⇔q ) درست است، چون هر دو گزاره یا با هم درست هستند یا با هم نادرست.

جدول درستی گزاره دو شرطی ( p ⇔q ):

رابطه بین گزاره ها ریاضی یازدهم انسانی

-( p ⇒q ) ∧ ( q ⇒p ) معادل است با ( p ⇔q )

-یعنی برای اثبات ( p ⇔q ), باید هر دو جهت p ⇒q و q ⇒p را ثابت کنیم.

چرا این گزاره ها مهماند؟

– در اثباتهای ریاضی، شرطی (⇒) برای بیان رابطه علت و معلولی استفاده میشود.

– دوشرطی (⇔) برای نشان دادن «هم ارزش» یا «معادل بودن» دو گزاره به کار میرود (مثلاً در تعریف ها).

5 – نقیض گزاره

به زبان ساده، نقیض یعنی «نه».

فرض کنید ( p ) یک گزاره (جمله ی درست یا نادرست) باشد. نقیض ( p ) که با نماد (¬p ) نشان داده میشود، گزاره ای است که:

– وقتی ( p ) نادرست است، (¬ p ) درست است.

– وقتی ( p ) درست است، (¬ p ) نادرست است.

این عملگر خیلی ساده عمل میکند: فقط مقدار درستی گزاره را برعکس میکند.

مثال ساده:

– اگر ( p ): «امروز بارانی است» باشد،

– آنگاه (¬ p ): «امروز بارانی نیست» است.

جدول راستی نقیض (¬ p ):

نکته مهم:

اگر دو بار نقیض بگیریم (¬¬ p ) ، نتیجه برابر خود ( p ) میشود. یعنی:

– مثلاً اگر ( p ): «خورشید میدرخشد» باشد،

– (¬¬p ): «اینطور نیست که خورشید نمیدرخشد»  یعنی «خورشید میدرخشد»!

پس نقیضِ نقیض، گزاره را به حالت اول برمیگرداند. به همین دلیل، (¬¬p ) و ( p ) هم ارزش هستند!

اهمیت نقیض

نقیض در استدلال های منطقی و حل مسئله کاربرد زیادی دارد. هرگاه بخواهیم خلاف یک گزاره را بررسی کنیم، از نقیض استفاده میکنیم.

فرمول های گزاره ای ریاضی و آمار یازدهم

با استفاده از عملگرهای منطقی پایه ای (نقیض، و، یا)، میتوانیم فرمول های پیچیده تری بسازیم تا گزاره های واقعی را نشان دهیم. بیایید با یک مثال شروع کنیم:

مثال:

فرض کنید ( x ) یک عدد صحیح باشد. گزاره زیر را درباره ( x ) در نظر بگیرید:

«( x ) مثبت و فرد است، یا ( x ) منفی و فرد است.»

این گزاره را چطور به فرمول منطقی تبدیل کنیم؟

ابتدا زیرگزاره ها را با متغیر های گزاره ای نشان می دهیم:

– ( p ): ( x ) مثبت است.

– ( q ): ( x ) منفی است.

– ( r ): ( x ) فرد است.

حالا گزاره اصلی را به شکل زیر بازنویسی میکنیم:

یعنی: «(( x ) مثبت و فرد است) یا (( x ) منفی و فرد است)».

فرمول گزاره ای ریاضی یازدهم انسانی

یک فرمول گزاره ای، ترکیبی از متغیرهای گزارهای (مثل ( p )، ( q )) و عملگرهای منطقی (مثل (∧)، (∨)، (¬)) است.

اولویت عملگرها

مانند ریاضیات، در فرمول های منطقی هم اولویت عملگرها مهم است:

۱. نقیض (¬)

۲. وَ (∧)

۳. یا (∨)

۴. شرطی (⇒)

۵. دوشرطی (⇔)

مثال:

در فرمول ( (p ∧ r) ∨ (q ∧ r) )، پرانتزها ضروری بودند. اگر پرانتز نگذاریم، ممکن است اشتباه تفسیر شود.

– همیشه بهتر است از پرانتز استفاده کنید تا اولویت ها واضح باشند!

جدول راستی برای فرمول ( (p ∧ r) ∨ (q ∧ r) )

با جدول راستی میتوانیم تمام حالتهای ممکن را بررسی کنیم:

نتیجه:

این فرمول فقط زمانی درست است که ( x ) یا مثبت و فرد باشد، یا منفی و فرد باشد مثلاً :

( x = 3 ) یا (x=-5)

هم  ارزشی منطقی ریاضی یازدهم انسانی

دو فرمول گزاره ای هم ارزش (معادل) هستند اگر در تمام حالت ها نتیجه یکسانی داشته باشند.

دو فرمول گزاره ای هم ارزش اند (≡)اگر در تمام سطر های جدول راستی، خروجی یکسان داشته باشند.

مثال هم ارزشی

فرمول ( (p ∧ r) ∨ (q ∧ r) ) را با ( r ∧ (p ∨q) ) مقایسه کنید:

از جدول میبینیم که دو ستون آخر همانند هستند. پس:

(P ∧ r) ∨ (q ∧ r) ≡ r ∧ (p ∨ q)

توضیح :

– هر دو فرمول میگویند: «( x ) فرد است و حداقل مثبت یا منفی است».

– این یعنی ( x ) نمیتواند زوج باشد یا صفر!

اهمیت هم ارزشی

در اثباته ای ریاضی، گاهی میتوانیم فرمول های پیچیده را با فرمول های ساده تر (اما هم ارزشی) جایگزین کنیم تا مسئله آسانتر شود.

قوانین دمورگان و قانون طرد شق

در این بخش با دو قانون مهم منطقی آشنا میشویم که در حل مسائل و اثبات ها بسیار کاربردی هستند.

قانون طرد شق (Law of Excluded Middle)

قضیه ۱: برای هر گزاره ( p )، گزاره ( p ∨ ¬ p ) همیشه درست است.

به زبان ساده: هر گزاره یا درست است یا نادرست. حالت سومی وجود ندارد!

مثال:

– اگر ( p ): «امروز بارانی است»، آنگاه (¬p ): «امروز بارانی نیست».

– طبق این قانون، یا امروز باران میبارد ( p ) یا نمیبارد (¬ p ).

اثبات با جدول راستی:

توتولوژی (همیشه درست)

یک فرمول گزاره ای توتولوژی است اگر تحت هر شرایطی (هر مقدار دهی به متغیرها) درست باشد.

– مثال: ( p ∨ ¬p ) یک توتولوژی است.

– مثال دیگر:

قوانین دمورگان (De Morgan’s Laws)

قوانین دمورگان چیست؟

قوانین دمورگان دو قانون مهم در منطق و نظریه مجموعه‌ها هستند که بیان می‌کنند هنگام گرفتن نقیض، نوع عملگر نیز تغییر می‌کند.

به عبارت دیگر:

اگر عملگر «و» باشد، به «یا» تبدیل می‌شود.

اگر عملگر «یا» باشد، به «و» تبدیل می‌شود.

همچنین نقیض روی تمام گزاره‌ها یا مجموعه‌ها اعمال می‌شود.

این قوانین به ما کمک می‌کنند تا عبارات پیچیده را به شکل ساده‌تری تبدیل کنیم.

کاربرد قوانین دمورگان در گزاره‌ها

قبل از اینکه قوانین دمورگان در مجموعه‌ها استفاده شوند، در منطق و گزاره‌ها کاربرد دارند.

فرض کنید دو گزاره داشته باشیم:

P : امروز باران می‌بارد.

Q : هوا سرد است.

حال می‌خواهیم نقیض برخی گزاره‌های مرکب را به دست آوریم.

در اینجا قوانین دمورگان کمک می‌کنند تا نقیض را به‌درستی بنویسیم.

قانون اول دمورگان در گزاره‌ها

نقیض «P و Q» برابر است با «نقیض P یا نقیض Q».

توضیح: اگر جمله

امروز باران می‌بارد و هوا سرد است.

درست نباشد، کافی است یکی از دو قسمت آن نادرست باشد.

پس نقیض آن می‌شود:

امروز باران نمی‌بارد یا هوا سرد نیست.

دقت کنید که در این قانون:

«و» به «یا» تبدیل شده است.

روی هر دو گزاره نقیض قرار گرفته است.

قانون دوم دمورگان در گزاره‌ها

نقیض «P یا Q» برابر است با «نقیض P و نقیض Q».

توضیح: فرض کنید جمله زیر را داشته باشیم:

امروز باران می‌بارد یا هوا سرد است.

اگر این جمله نادرست باشد، یعنی هیچ‌کدام از دو قسمت درست نیستند.

پس نقیض آن می‌شود:

امروز باران نمی‌بارد و هوا سرد نیست.

در این قانون نیز:

«یا» به «و» تبدیل شده است.

روی هر دو گزاره نقیض قرار گرفته است.

خلاصه قوانین دمورگان:

– نقیض «( p ) و ( q )» برابر است با «نقیض ( p ) یا نقیض ( q )».

– نقیض «( p ) یا ( q )» برابر است با «نقیض ( p ) و نقیض ( q )».

اثبات قوانین دمورگان با جدول راستی

برای قانون اول ¬ (p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q:

از جدول میبینیم که ستونهای (¬p∨¬q) و (¬(p∧q) ) یکسان هستند. پس هم ارزش اند!

اهمیت قوانین دمورگان

– در اثبات های ریاضی، برای ساده سازی گزاره های پیچیده استفاده میشوند.

– در برنامه نویسی و طراحی مدارهای منطقی نیز کاربرد دارند!

استدلال ریاضی چیست؟ ریاضی و آمار یازدهم انسانی

استدلال ریاضی، توانایی استفاده از منطق، اصول ریاضی و شواهد برای حل مسئله یا اثبات یک ادعاست. این مهارت به شما کمک میکند تا از حقایق شناخته شده، نتایج جدید به دست آورید یا درستی یک گزاره را بررسی کنید.

انواع استدلال ریاضی

۱. استدلال قیاسی (Deductive Reasoning):

– تعریف: شروع از اصول کلی و رسیدن به نتیجه خاص.

– شرط صحت: اگر مقدمات درست باشند، نتیجه قطعاً درست است.

– مثال ریاضی:

– ۱: همه زوایای مثلث متساوی الاضلاع ۶۰ درجه اند.

– ۲: ABC یک مثلث متساویالاضلاع است.

– نتیجه: هر زاویه ی ABC برابر ۶۰ درجه است.

– مثال غیرریاضی:

– ۱: همه پرندگان بال دارند.

– ۲: کلاغ یک پرنده است.

– نتیجه: کلاغ بال دارد.

۲. استدلال استقرایی (Inductive Reasoning):

– تعریف: تشخیص الگوها از مثالهای خاص و تعمیم آنها به یک قاعده کلی.

– شرط صحت: نتیجه ممکن است درست باشد، اما قطعی نیست.

– مثال ریاضی:

– مشاهده: ۱ + ۳ = ۴ (مربع ۲)، ۱ + ۳ + ۵ = ۹ (مربع ۳)، ۱ + ۳ + ۵ + ۷ = ۱۶ (مربع ۴).

– نتیجه: مجموع n عدد فرد متوالی برابر مربع n است.

– مثال غیرریاضی:

– مشاهده: هر روز صبح خورشید طلوع کرده است.

– نتیجه: فردا صبح هم خورشید طلوع خواهد کرد.

۳. استدلال تمثیلی (Abductive Reasoning):

– تعریف: حدس بهترین توضیح بر اساس شواهد موجود.

– شرط صحت: نتیجه محتملترین توضیح است، اما لزوماً درست نیست.

– مثال ریاضی:

– شواهد: معادله ی ریشه های ۲ و ۳ دارد.

– نتیجه: این معادله به صورت (x-2) و (x-3) فاکتورگیری میشود.

– مثال غیرریاضی:

– شواهد: زمین خیس است.

– نتیجه: احتمالاً باران آمده است.

شرایط استدلال معتبر

۱. وضوح: گزاره ها باید واضح و بدون ابهام باشند.

۲. ساختار منطقی: ارتباط بین مقدمات و نتیجه باید مستقیم باشد.

۳. پشتیبانی با شواهد: هر ادعا باید با داده ها یا قضایای اثبات شده حمایت شود.

۴. نبود تناقض: نتایج نباید با اصول پذیرفته شدهی ریاضی در تضاد باشند.

نمونه های ترکیبی (ریاضی و غیرریاضی)

– ریاضی: اثبات اینکه “مجموع زوایای داخلی هر مثلث ۱۸۰ درجه است” با استفاده از رسم خط موازی و استدلال قیاسی.

– غیرریاضی: برنامه ریزی برای سفر بر اساس پیشبینی هوا (استدلال استقرایی: چون قبلاً باران آورده، احتمالاً باز هم میبارد!).

استدلال قیاسی ریاضی و آمار یازدهم انسانی

استدلال قیاسی به سادگیِ کنار هم گذاشتن قطعات یک پازل است تا به نتیجه‌ای منطقی برسیم. در این روش، چندین مقدمه جمع‌آوری و با هم مقایسه می‌ شوند تا نتیجه‌ای استوار به دست آید. در استدلال قیاسی، احتمال درست بودن نتیجه نهایی بسیار بالاست، چون بر پایه قواعد و منطق محض است. نتایج حاصل از این روش، بسیار قابل اعتماد هستند.

استدلال قیاسی چیست؟

استدلال قیاسی، روشی ساده برای رسیدن به نتیجه با ترکیب دو یا چند اطلاعات است. این فرآیندِ منطقی، چند مقدمه را پردازش می‌کند تا به نتیجه‌ای معتبر برسد. استدلال قیاسی به حدس یا تقریب متکی نیست، بلکه با تأیید مقدمات مختلف به کمک یکدیگر، نتیجه را استخراج می‌کند. از این روش معمولاً برای آزمایش فرضیه‌ ها و قضایای ریاضی استفاده می‌شود.

مثال:

اگر A = B و B = C باشد، می‌توان نتیجه گرفت A = C است.

چرا استدلال قیاسی قابل اعتمادتر است؟

– استدلال قیاسی برخلاف استدلال استقرایی (که بر پایهفرضیات است)، کاملاً بر منطق استوار است.

– نتیجه آن در صورت درست بودن مقدمات، قطعاً درست است.

– حتی اگر نام «استقرای ریاضی» در ریاضیات وجود دارد، این روش در واقع نوعی استدلال قیاسی است!

انواع استدلال قیاسی ریاضی یازدهم انسانی

۱. قیاس منطقی (Syllogism):

– دو مقدمه شرطی با هم ترکیب می‌شوند.

– مثال:

– همه اعدادی که بر ۲ بخش ‌پذیرند، مضرب ۲ هستند.

– همه مضرب ‌های ۲، اعداد زوج هستند.

– پس همه اعداد بخش ‌پذیر بر ۲، زوج هستند.

۲. مودوس پونِس (Modus Ponens):

– تأیید بخش اول یک شرط.

– مثال:

– اگر عددی بین ۹۹ و ۹۹۹ باشد، سه رقمی است.

– عدد N بین ۲۹۹ و ۳۹۹ است.

–  پس N سه رقمی است.

۳. مودوس تولِنس (Modus Tollens):

– رد بخش اول یک شرط.

– مثال:

– اعداد ۴ و ۵ از عوامل ۲۰ هستند.

– عدد X از عوامل ۲۰ نیست.

– → پس X نه ۴ است و نه ۵.

تفاوت استدلال قیاسی و استقرایی

نمونه سوالات استدلال قیاسی

مثال ۱:

– همه اعداد بخش‌پذیر بر ۲۰، بر ۱۰ هم بخش‌ پذیرند.

– همه اعداد بخش ‌پذیر بر ۱۰، زوج هستند.

→ نتیجه: هر عدد بخش ‌پذیر بر ۲۰، زوج است.

مثال ۲:

– افراد متولد ۱۹۵۰ تا ۱۹۸۰ فیلم‌های قدیمی را دوست دارند.

– جانسون در سال ۲۰۰۵ به دنیا آمده است.

نتیجه: جانسون فیلم‌های قدیمی را دوست ندارد.