فصل اول هندسه دهم
ترسیم های هندسی و استدلال — درس اول هندسه دهم
این درس شامل چهار بخش اصلی است:
- ترسیم های هندسی و استدلال
- خواص و ترسیم نیمساز
- خواص و ترسیم عمود منصف
- رسم خط عمود بر یک خط و رسم خط موازی با یک خط
درس ترسیم های هندسی و استدلال هندسه دهم
تعریف: ترسیم هندسی یعنی کشیدن اشکال و اجزای هندسی با ابزارهای هندسی مثل پرگار و خطکش (بدون اندازهگیری با خطکش مدرج). این ترسیم ها باید بر پایه استدلال منطقی انجام شوند.
استدلال: منظور از استدلال، توجیه منطقی مراحل یک ترسیم است. مثلاً وقتی نقطهای را رسم میکنیم، باید بتوانیم توضیح دهیم که چرا این نقطه آن جا قرار گرفته و چه ویژگی دارد.
مثال: فرض کنید می خواهیم نیمساز زاویه ای را رسم کنیم. صرف کشیدن نیمساز کافی نیست؛ باید بتوانیم بگوییم این خط چرا نیمساز است (مثلاً به دلیل اینکه فاصلهاش از دو ضلع زاویه برابر است).
برخی خواص عمود منصف و روش ترسیم آن
تعریف عمود منصف: عمودمنصف یک پارهخط، خطی است که هم از وسط آن پاره خط میگذرد و هم بر آن عمود است.
خواص عمود منصف:
هر نقطه روی عمود منصف از دو سر پاره خط فاصله مساوی دارد.
سه عمود منصف اضلاع یک مثلث در یک نقطه به نام مرکز دایره محاطی مثلث (دایرهای که از سه رأس می گذرد) همدیگر را قطع می کنند.
روش ترسیم عمود منصف
ابزار: پرگار و خطکش
یک پارهخط AB را رسم کنید.
پرگار را روی نقطه A بگذارید و شعاعی بیشتر از نصف AB انتخاب کرده، یک کمان بالا و پایین پارهخط بزنید.
همان کار را با همان شعاع از نقطهٔ B انجام دهید.
محل برخورد دو کمان بالا و پایین را به هم وصل کنید؛ این خط، عمود منصف پاره خط AB است.
مثال: اگر AB = 6 cm باشد، عمود منصف از نقطهای میگذرد که دقیقاً در فاصلهٔ 3 cm از هر یک از A و B قرار دارد.
رسم خط عمود بر یک خط و خط موازی با یک خط هندسه دهم
رسم خط عمود بر یک خط از یک نقطه روی خط
فرض کنید خط d داده شده و نقطه M روی آن قرار دارد:
پرگار را روی نقطه M گذاشته، دو نقطه A و B روی خط d ایجاد کنید به طوریکه فاصله شان از M مساوی باشد.
سپس پرگار را روی A و B گذاشته و دو کمان مساوی در بالا یا پایین خط رسم کنید.
نقطه تقاطع این دو کمان را با نقطه M وصل کنید. خط جدید بر خط d عمود است.
رسم خط عمود بر یک خط از نقطهای خارج از آن هندسه دهم
از نقطه خارج از خط ( مثلاً نقطهٔ T) پرگار بزنید تا خط d را در دو نقطه قطع کند (نقاط A و B)
مانند ترسیم عمود منصف، دو کمان از A و B رسم کرده و محل برخورد آن ها را پیدا کنید
این نقطه را به T وصل کنید. این خط بر d عمود است.
درس دوم فصل دوم هندسه دهم – استدلال در هندسه
اهمیت استدلال در زندگی
استدلال یعنی نتیجهگیری منطقی از یک یا چند مقدمه. توانایی استدلال کردن، هم در تصمیمگیری های فردی و هم در گفتگو ها و فعالیت های اجتماعی بسیار مهم است.
اگر استدلال درست نباشد، ممکن است:
- تصمیم های اشتباه بگیریم.
- باورهای غلط بسازیم.
- روابطمان خراب شود.
- حتی دچار مشکل شخصیتی شویم.
مثال استدلال نادرست:
«در اولین امتحان موفق نشدم، پس همیشه شکست میخورم.»
«تیم من همه بازیها را باخته، پس بازی بعدی هم میبازد.»
هر دو استدلال بالا نتیجهگیری اشتباه دارند، چون فقط بر اساس یک یا چند اتفاق محدود تصمیم گرفته شده اند.
استقرا و استنتاج هندسه دهم
استدلال استقرایی (از جزء به کل)
در استقرا، با بررسی چند مورد جزئی، نتیجهای کلی میگیریم.
مثال: اگر ببینیم سه نفر از کلاس به رنگ سبز علاقه دارند و نتیجه بگیریم همه کلاس رنگ سبز را دوست دارند، این استقراست.
استدلال استقرایی همیشه صد در صد معتبر نیست؛ چون ممکن است مواردی وجود داشته باشد که در نظر نگرفته ایم.
استدلال استنتاجی (از کل به جزء)
در این نوع استدلال، با فرض واقعیت های پذیرفته شده و با استفاده از منطق، به نتیجهای خاص می رسیم.
مثال: اگر بدانیم مجموع زاویه های داخلی مثلث ۱۸۰ درجه است، و دو زاویه آن را داشته باشیم، می توانیم سومی را دقیق محاسبه کنیم.
استنتاج همیشه معتبر است؛ چون بر پایه اصول ثابت منطقی ساخته می شود.
قضیه، فرض و حکم هندسه دهم
قضیه: نتیجهای منطقی که اثبات شده باشد.
فرض: شرایط یا اطلاعاتی که از آن ها شروع میکنیم.
حکم: نتیجه ای که میخواهیم اثبات کنیم.
آشنایی با مفهوم “قضیه“
قضیه نتیجهای است که با استدلال استنتاجی به دست می آید و در ریاضیات بسیار پرکاربرد است.
قضیه 1: اگر در مثلثی دو ضلع نابرابر باشند، زاویه روبه روی ضلع بزرگ تر، بزرگ تر از زاویه روبه روی ضلع کوچک تر است.
مثال برای اثبات:
فرض کنیم در مثلث ABC، داشته باشیم: AB < AC
میخواهیم ثابت کنیم: زاویه مقابل AB یعنی ∠C از زاویه مقابل AC یعنی ∠B کوچکتر است.
برای اینکار مثلثی با دو ضلع نابرابر رسم میکنیم و با استفاده از خواص مثلث ها، بهویژه اینکه:
زاویه خارجی هر مثلث بزرگ تر از زاویه داخلی غیرمجاور آن است
مجموع زوایای داخلی مثلث ۱۸۰ درجه است
نتیجه میگیریم که: ∠C > B∠
عکس قضیه و بررسی درستی آن هندسه دهم
عکس قضیه: یعنی جای فرض و حکم را عوض کنیم.
عکس قضیه ۱:
اگر در مثلثی دو زاویه نابرابر باشند، آنگاه ضلع مقابل به زاویه بزرگ تر، بزرگ تر است. از ضلع رو به روی زاویه کوچک تر.
فرض: ∠B < C∠
حکم: AB < AC
در اینجا عکس قضیه درست است، ولی باید با روشی منطقی مثل برهان غیرمستقیم اثبات شود.
گزاره و نقیض گزاره هندسه دهم
گزاره: جمله ای خبری که درست یا نادرست باشد.
مثال:
«۵ عددی اول است.» درست
«فردا بارانی است.» (ارزش آن بسته به شرایط مشخص می شود)
گزاره ساده: فقط یک خبر را منتقل میکند.
گزاره مرکب: چند خبر را با هم ترکیب میکند، مثلاً: «امروز بارانی است و من مدرسه میروم»
نقیض گزاره: جمله ای که ارزشش دقیقاً مخالف گزاره باشد.
مثال:
گزاره: «۵ زوج است»
نقیض: «۵ زوج نیست»
برهان غیرمستقیم (برهان خلف) هندسه دهم
یکی از روش های اثبات در ریاضی. بهجای اینکه مستقیماً حکم را ثابت کنیم، فرض می کنیم حکم نادرست است و نشان می دهیم این فرض به تناقض می انجامد.
مثال:
از یک نقطه خارج از خط، فقط یک عمود می توان بر آن خط رسم کرد.
فرض میکنیم دو عمود می توان رسم کرد
آن ها یک مثلث تشکیل می دهند که مجموع زوایای داخلیاش بیشتر از ۱۸۰ می شود (تناقض)
نتیجه: فرض اولیه (وجود دو عمود) نادرست است، پس حکم درست است.
اثبات درستی عکس قضیه با برهان غیرمستقیم هندسه دهم
می خواهیم نشان دهیم:
اگر ∠B < C∠ آنگاه AB < AC
با فرض اینکه ∠B < C∠ ولی AB ≥ AC
با رسم شکل و بررسی زوایا میبینیم این فرض به تناقض می انجامد، پس عکس قضیه نیز درست است.
قضیه های دو شرطی هندسه دهم
اگر یک قضیه و عکسش هر دو درست باشند، آن را قضیه دوشرطی می نامیم.
نمونه دو شرطی:
اگر در مثلثی دو ضلع نابرابر باشند، زاویه روبه روی ضلع بزرگتر، بزرگ تر است؛ و برعکس.
این رابطه را می توان با نماد ↔ یا «اگر و تنها اگر» نیز نوشت:
AB < AC ⇔ ∠B < ∠C
استدلال با مثال نقض
گاهی می خواهند یک حکم کلی را درست جلوه دهند.
برای رد آن می توان فقط یک مثال نقض آورد.
مثال:
همه عدد های صحیح، مثبت اند.
فقط با عدد -۲ این حکم رد می شود.
مثال ۲:
هر چهارضلعی با چهار ضلع برابر، مربع است.
لوزی این حکم را نقض می کند.
اما اگر نتوانیم هیچ مثال نقضی بیاوریم، باز هم باید برای درستی حکم کلی، اثبات ریاضی ارائه کنیم.
خلاصه:
| تعریف ساده | اصطلاح |
| نتیجه گیری منطقی از اطلاعات موجود | استدلال |
| نتیجه گیری کلی از چند مورد خاص (قطعیت ندارد) | استقرا |
| نتیجه گیری منطقی از مقدمات صحیح | استنتاج |
| نتیجه ای اثبات شده و مهم در ریاضی | قضیه |
| شرایطی که از آن ها شروع میکنیم | فرض |
| نتیجه ای که میخواهیم اثبات کنیم | حکم |
| قضیهای که جای فرض و حکم در آن عوض شده است | عکس قضیه |
| جمله ای خبری که یا درست است یا نادرست | گزاره |
| جملهای با ارزش مخالف گزاره اصلی | نقیض گزاره |
| روشی برای اثبات با فرض نقیض حکم و رسیدن به تناقض | برهان غیرمستقیم |
| قضیه ای که هم خودش و هم عکسش درست باشد | دوشرطی |
| مثالی که نشان دهد یک حکم کلی اشتباه است | مثال نقض |
جمع بندی:
استدلال درست اساس حل مسائل ریاضی است.
استقرا حدس میزند، استنتاج اثبات می کند.
قضیه ها با استنتاج اثبات می شوند و گاهی می توانند دوطرفه (دوشرطی) باشند.
برای رد یک حکم کلی، فقط یک مثال نقض کافی است.
درستی نهایی یک گزاره فقط با اثبات قابل تأیید است.