تدریس فصل ششم ریاضی هشتم – مثلث

ریاضی هشتم فصل ششم

ریاضی هشتم فصل 6

فصل ششم ریاضی پایه هشتم در مورد مثلث میباشد. این فصل از ریاضی هشتم شامل درس های : رابطه فیثاغورث , شکل های هم نهشت , مثلث های هم نهشت و هم نهشتی مثلث های قائم الزاویه میباشد.

مثلث چیست؟

مثلث یک شکل بسته با 3 زاویه، 3 ضلع و 3 رأس است. مثلثی با سه رأس P، Q و R به صورت  نشان داده می شود.

در مثلث بالا:

این سه زاویه عبارتند از:

سه ضلع آن عبارت اند از: PQ,QR و RP

این سه رأس عبارتند از P، Q و R

نکته: مجموع تمام زوایای مثلث برابر با 180 درجه است.

ریاضی هشتم رابطه فیثاغورث

قضیه فیثاغورث چیست؟

قضیه فیثاغورث بیان می کند که اگر مثلثی مثلث قائم الزاویه باشد، مجذور وتر برابر است با مجموع مربع های دو ضلع دیگر. مثلث زیر ABC را مشاهده کنید که در آن داریم. در اینجا AB قاعده، AC ارتفاع و BC وتر است. لازم به ذکر است که وتر طولانی ترین ضلع یک مثلث قائم الزاویه است.

معادله قضیه فیثاغورث

معادله قضیه فیثاغورث به صورت  بیان می شود که در اینجا c وتر , a و b دو تا ضلع دیگر مثلث قائم الزاویه هستند. از این رو، هر مثلثی با یک زاویه برابر 90 درجه، مثلث فیثاغورث را تولید می کند و معادله فیثاغورث را می توان در مثلث اعمال کرد.

ریاضی هشتم هم نهشتی

شکل های مساوی (هم نهشت)

اگر بتوانیم شکلی را با یک یا چند تبدیل (انتقال، تقارن یا دوران) در صفحه بر شکل دیگر منطبق کنیم، می گوییم این دو شکل باهم هم نهشت (مساوی) اند.

و یا به زبان ساده دو تا شکل داشته باشیم که فقط مکان شان روی صفحه با هم فرق کند ولی اندازه هاشون , ضلع ها و زاویه هاشون با هم مساوی و برابر باشد به آ ن دو شکل, شکل های هم نهشت میگوییم.

شکل های مشابه تصویر بالا را در تصویر پایین با هم جفت کردیم.

اشکال مشابه، اشکالی هستند که به نظر یکسان هستند اما اندازه آنها ممکن است دقیقاً یکسان نباشد. اگر دو شکل به شکلی معادل نیاز داشته باشند، می توان گفت که مشابه هستند، اما احتمالاً از نظر اندازه متفاوت هستند. به این معنی که اشکال مشابه پس از بزرگ شدن یا بزرگنمایی بر روی یکدیگر همپوشانی دارند.

ریاضی هشتم مثلث های هم نهشت

دو مثلث متشابه خواهند بود اگر زوایا مساوی باشند (زوایای متناظر) و اضلاع در نسبت یا نسبت یکسان (اضلاع متناظر) باشند. مثلث های مشابه ممکن است دارای طول های جداگانه اضلاع مثلث ها باشند، اما زوایای آنها باید مساوی باشد و نسبت متناظر آنها با طول اضلاع باید یکسان باشد. اگر دو مثلث شبیه هم باشند یعنی:

تمام زوج های زاویه متناظر مثلث ها با هم برابرند.

تمام ضلع های متناظر مثلث ها متناسب هستند.

ما از نماد “∼” برای نشان دادن شباهت استفاده می کنیم. بنابراین، اگر دو مثلث مشابه باشند، آن را به صورت  نشان می‌دهیم.

مثلث های مشابه

مثلث‌های مشابه مثلث‌هایی هستند که جفت‌های زاویه‌ای مربوط به آن‌ها برابر هستند. یعنی مثلث های متساوی الاضلاع شبیه هم هستند. بنابراین تمام مثلث های متساوی الاضلاع نمونه هایی از مثلث های مشابه هستند. تصویر زیر مثلث های مشابه را نشان می دهد، اما باید توجه کنیم که اندازه آنها متفاوت است.

مثال: در تصویر پایین سه تا مثلث هم نهشت را مشاهده می نمایید که تمام زوج های زاویه متناظر مثلث ها با هم برابرند. و تمام ضلع های متناظر مثلث ها متناسب هستند.

سه حالت هم نهشتی دو مثلث

برابری سه ضلع ( ض ض ض )

برابری دو ضلع و زاویه بین ( ض ز ض )

برابر دو زاویه و ضلع بین ( ز ض ز )

ض ز ض ریاضی هشتم

این اختصار نشان دهنده برابری دو ضلع و زاویه بین را در دو مثلث هم نهشت میباشد.

ریاضی هشتم هم نهشتی مثلث های قائم الزاویه

اگر یکی از زوایای حاده یک مثلث قائم الزاویه با زاویه حاده مثلث قائم الزاویه دیگر همخوانی داشته باشد، آنگاه با تشابه زاویه-زاویه، مثلث ها هم نهشت هستند.

شباهت اضلاع

اگر طول اضلاع قائم دو مثلث قائم الزاویه متناسب باشد، آنگاه با تشابه ضلع-زاویه-ضلع مثلث ها مشابه هستند.

تشابه وتر- ضلع قائم

اگر طول وتر و یک ضلع مثلث الزاویه با قسمت های متناظر مثلث قائم الزاویه دیگر متناسب باشد، آن مثلث ها شبیه هم هستند. (می توانید این را با استفاده از قضیه فیثاغورث ثابت کنید تا نشان دهید که جفت سوم ضلع نیز متناسب است.)

با در نظر گرفتن شباهت ضلع – ضلع و تشابه وتر – ضلع با هم، می توان گفت که اگر هر دو ضلع از یک مثلث قائم الزاویه با ضلع های متناظر یک مثلث قائم الزاویه دیگر متناسب باشند، آنگاه مثلث ها شبیه هم هستند.

 

اگر در یک مثلث قائم الزاویه، یک نیم ساز از زاویه قائم به وتر رسم شود , دو مثلث تشکیل میشود که مشابه مثلث اصلی و هم نهشت یکدیگر هستند.

در تصویر بالا , AC نیم سازی است که از زاویه قائمه به سمت وتر ترسیم شده است.

نتیجه:

اگر سه مثلث بالا را بطور جداگانه ترسیم نماییم , هم نهشتی این سه تا مثلث های قائم الزاویه را میتوانیم مشاهده نماییم.

خلاصه فصل 6 ریاضی هشتم

مثلث های مشابه مثلث هایی هستند که دارای سه مجموعه ضلع متناسب و سه مجموعه اندازه گیری زاویه متجانس هستند. اگر مثلث ها شبیه هم باشند، یک ضریب مقیاس وجود دارد که می تواند برای تعیین طول اضلاع از دست رفته استفاده شود. ضریب مقیاس کسری است که با ایجاد نسبتی از اضلاع متناظر مثلث تعیین می شود. به عنوان مثال، اگر مثلثی دارای طول ضلع های 12، 6 و 10 باشد و ضریب مقیاس 1/2 باشد، طول مثلث دیگر نصف و 6، 3 و 5 است.