درس اول فصل سوم ریاضی یازدهم تجربی
تابع – دس 1 فصل 3 ریاضی 11 تجربی
مقاله کامل در مورد تابع را میتوانید در درس فصل پنجم ریاضی دهم مشاهده نمایید, در این مقاله به معرفی برخی از انواع توابع میپردازیم.
آشنایی با برخی از انواع توابع
1 – توابع گویا ریاضی یازدهم
توابع گویا یا کسر های جبری، توابعی هستند که کسر هستند زیرا دارای صورت و مخرج هستند. توابع گویا به صورت نسبت , دو چند جمله ای بیان می شوند به طوری که مخرج خلاف صفر باشد.
توابع گویا شامل حداقل یک متغیر (مثلا x ) هستند, اگر بتوان آن را به صورت f(x) = p(x)/q(x) نشان داد، که در آن p(x) و q(x) چند جمله ای هستند به طوری که باشد.
مثلا:
چگونه یک تابع گویا را بشناسیم؟
برای تشخیص تابع گویا، کافی است این دو شرط ساده را بررسی کنید:
۱. ساختار کسری: تابع باید به صورت یک کسر باشد که صورت و مخرج آن هر دو چندجملهای باشند. (یعنی توان متغیرها اعداد صحیح و نامنفی باشند).
۲. مخرج غیرصفر: مخرج کسر نباید عدد ثابت صفر باشد (یعنی حتماً باید متغیری در مخرج وجود داشته باشد یا حداقل مخرج یک عدد غیرصفر باشد).
فرم کلی:
چند مثال برای درک بهتر:
خلاصه: اگر توان متغیر در صورت و مخرج، «عدد طبیعی» باشد، تابع گویا است.
دامنه و برد تابع گویا
یک کسر زمانی تعریف نمی شود که مخرج آن برابر با 0 باشد. این نکته کلیدی باید در زمان دریافت دامنه و برد یک تابع گویا مد نظر ما باشد.
دامنه تابع گویا
دامنه یک تابع گویا مجموعه ای از تمام مقادیر x است که تابع می تواند بگیرد. برای یافتن دامنه تابع گویا y=f(x) :
مخرج را خلاف صفر قرار داده و آن را برای x حل کنید.
مجموعه تمام اعداد واقعی غیر از مقادیر x ذکر شده در مرحله آخر دامنه است.
نمودار توابع گویا
در اینجا مراحل برای ترسیم نمودار یک تابع منطقی وجود دارد:
برای رسم گراف یک تابع گویا (تابع کسری)، مراحل زیر را به ترتیب انجام میدهیم:
۱. تعیین دامنه تابع
اولین کاری که باید بکنی اینه که ببینی تابع تو چه نقطه هایی تعریف نشده. این نقاط همون جاهایی هستن که مخرج q(x) صفر می شود. چون تقسیم بر صفر تعریف نشده است. این نقاط رو به عنوان مجانب عمودی در نظر میگیریم.
مثال: اگر تابع ما f(x)=1/x-2 باشد، وقتی x=2 باشه، مخرج صفر میشه. پس x=2 یه مجانب عمودی هست.
۲. پیدا کردن مجانب ها
– مجانب عمودی: همون نقطه هایی که مخرج صفر می شود(همونهایی که تو دامنه نبودن).
– مجانب افقی: این رو با نگاه کردن به درجه ی صورت و مخرج پیدا میکنیم:
– اگر درجه ی صورت کمتر از درجه ی مخرج باشه، مجانب افقی y=0 هست.
– اگر درجهی صورت و مخرج مساوی باشند، مجانب افقی y=a/b هست ( که a و b ضرایب بالاترین درجهی صورت و مخرج هستند).
– اگر درجهی صورت بیشتر از درجهی مخرج باشه، مجانب افقی نداریم، ولی ممکنه مجانب مایل داشته باشیم.
مثال: برای f(x)=1/x-2 چون درجه ی صورت کمتر از مخرجه، مجانب افقی y=0 هست.
۳. پیدا کردن نقاط تقاطع با محور ها
– تقاطع با محور x: برای پیدا کردن این نقطه، y=0 قرار میدیم و معادله رو حل میکنیم.
– تقاطع با محور y : برای پیدا کردن این نقطه، x=0 قرار میدیم و مقدار y رو حساب میکنیم.
مثال: برای f(x)=1/x-2:
تقاطع با x : 1/x-2=0 هیچ راه حلی نداره، چون صورت هیچ وقت صفر نمی شود.
– تقاطع با محور y: f(0)=1/0-2 پس نقطهی (0,-1/2) تقاطع با محور y هست.
۴. تعیین رفتار تابع نزدیک مجانب ها
نزدیک مجانب عمودی، تابع به سمت مثبت یا منفی بی نهایت می رود. برای این کار می تونی چند نقطه نزدیک مجانب رو تست کنی تا ببینی تابع به کدوم سمت میره.
مثال: برای f(x)=1/x-2
– وقتی x از سمت چپ به ۲ نزدیک میشه (مثلاً ۱.۹)، f(x) به سمت منفی بی نهایت میره.
– وقتی x از سمت راست به ۲ نزدیک میشه (مثلاً ۲.۱)، f(x) به سمت مثبت بی نهایت میره.
۵. رسم گراف
حالا که همهی این اطلاعات رو داری، میتونی گراف رو رسم کنی:
– مجانب ها رو به صورت خط های نقطه چین رسم کن.
– نقاط تقاطع با محورها رو مشخص کن.
– رفتار تابع رو نزدیک مجانب ها و در نقاط دیگه بررسی کن و گراف رو کامل کن.
مثال: برای f(x)=1/x-2 گراف تابع گویا را رسم نمایید.
– یه خط عمودی نقطهچین در x=2 رسم کن.
– یه خط افقی نقطه چین در y=0 رسم کن.
– نقطهی (0,-1/2)رو مشخص کن.
– رفتار تابع رو نزدیک x=2 و در نقاط دیگه بررسی کن و گراف رو کامل کن.
2 – توابع رادیکالی ریاضی یازدهم
تابع رادیکالی اساساً به شکل f(x) = √x است. این معکوس تابع مربع است زیرا مربع و جذر عملیات معکوس یکدیگر هستند. تابع جذر مربع f(x) = √x و معکوس آن g(x) = x2 در دامنه [0، ∞) و محدوده [0، ∞) با توجه به خط y = x متقارن هستند، همانطور که در شکل زیر نشان داده شده است.
مراحل ترسیم گراف تابع رادیکالی
۱. تعیین دامنه تابع
اولین کاری که باید بکنی اینه که ببینی تابع تو چه نقطه هایی تعریف شده. چون داخل ریشه نمیتونه عدد منفی باشه (مگر اینکه ریشه فرد باشه)، پس باید عبارت داخل ریشه بزرگ تر یا مساوی صفر باشه.
مثال: برای f(x)= √x :
– عبارت داخل ریشهx هست. پس 
– یعنی دامنه تابعx های بزرگ تر یا مساوی صفر هستند.
۲. پیدا کردن نقاط تقاطع با محور ها
– تقاطع با محور x: برای پیدا کردن این نقطه, y=0 قرار میدهیم و معادله رو حل می کنیم.
– تقاطع با محور y: برای پیدا کردن این نقطه، x=0 قرار میدهیم و مقدار y رو حساب می کنیم.
۳. تعیین رفتار تابع
– وقتی x زیاد میشه، y چطوری تغییر میکنه؟
– آیا تابع به سمت بی نهایت می ره یا به یه عدد خاص نزدیک می شه؟
مثال: برای f(x)= √x :
– وقتی x زیاد میشه، y هم زیاد میشه، ولی آروم آروم (یعنی سرعت افزایش y کم می شه).
۴. پیدا کردن چند نقطه دیگر
برای اینکه گراف رو دقیق تر رسم کنی، می تونی چند نقطه دیگه رو حساب کنی.
مثال: برای f(x)= √x :
۵. رسم گراف
حالا که همهی این اطلاعات رو داری، میتونی گراف رو رسم کنی:
– دامنه تابع رو در نظر بگیر
– نقاط تقاطع با محورها رو مشخص کن.
– چند نقطه دیگه رو که حساب کردی، روی گراف بذار.
– رفتار تابع رو وقتی x زیاد میشه، در نظر بگیر و گراف رو کامل کن.
توابع پله ای و توابع جز صحیح ریاضی یازدهم
3 – تعریف تابع پله ای
تابع پله ای یک تابع ریاضی است که مقدار آن برای ورودی های منفی صفر و برای ورودی های مثبت یک است. این تابع معمولاً با نماد H(x) یا u(x) نشان داده می شود و به صورت زیر تعریف می شود:
این تابع در x=0 یک ناپیوستگی دارد, زیرا مقدار آن به طور ناگهانی از 0 به 1 تغییر میکند.
عملکرد تابع پله ای
یک بازی را تصور کنید که در آن یک دسته سکه در مقابل خود دارید. اگر می خواهید بدانید چند سکه دارید، باید آنها را یکی یکی بشمارید.
حالا تصور کنید که به جای سکه، یک ردیف چوب واقعا طولانی دارید. اگر می خواهید بدانید چند چوب دارید، فقط می توانید تعداد چوب ها را بشمارید.
این به نوعی شبیه تابع پله ای است. مثل یک خط است که یک دسته چوب روی آن است، اما به جای چوب، اعداد دارد. اعداد روی خط هر بار که به سمت راست حرکت می کنید یک عدد بالا می روند.
بنابراین، اگر می خواهید بدانید تابع پله ای چیست، فقط باید به عدد روی خط در نقطه ای که علاقه دارید نگاه کنید. اگر نقطه در سمت چپ خط باشد، عدد صفر خواهد بود. اگر نقطه روی خط یا سمت راست آن باشد، عدد یک خواهد بود.
4 – تابع جز صحیح یا براکت
قبل از اینکه تابع جزء صحیح را مورد مطالعه قرار بدهیم , اول جزء صحیح را مورد معرفی قرار میدهیم تا بفهمیم چی است و چی ویژگی های دارد.
جزء صحیح :
جزء صحیح یک مفهوم در ریاضی است که با علامت [ ] نشان داده میشود. جز صحیح در زبان عامیانه کارخانه صحیح سازی است , یعنی هر عدد صحیحی که در این براکت قرار بگیرد , خروجی آن یک عدد صحیح خواهد بود.
مثلا : اگر عدد صحیح 2 بره داخل جز صحیح , عدد صحیح 2 (خود عدد) بیرون میاد.
و اگر عدد 2,5 غیر صحیح بره داخل جز صحیح , عدد صحیح 2 بیرون میاد. حالا همین را به زبان ریاضی قرار ذیل تعریف میکنیم.
تا اینجا که جز صحیح یا همان براکت را شناختیم , پس حالا معادلات براکتی را مورد بررسی قرار میدهیم.
معادلات براکتی:
از الگوی بالا چنین نتیجه میگیریم که اول معادله را حل میکنیم تا تنها براکت شو , بعد معادله را مثل جزء صحیح حل میکنیم یعنی با استفاده از قانون جزءصحیح عدد معادله را از براکت بیرون میاوریم و جواب نهایی را در قالب بازه تعریف می نماییم.
مثال:جواب معادله زیر را بدست آورید.
برای حل معادلات براکتی برای خود تعریف کند که محتوای داخل براکت کدام قیمت ها را میتواند اختیار کند تا حاصل آن عدد 2 شود.
از تدریس جز ء صحیح به خاطر داریم که هر عددی که در محدوده 2 الی 3 به شمول خود عدد 2 , شامل باشد جواب آن براکت (2) میشود. حالا همین محدوده قیمت های x را در بازه ها و یا نامساوات تعریف میکنیم.
پس نظر به نکات که ذکر کردیم که جواب این معادله براکتی قرار ذیل میباشد.
مثال 2: جواب معادله براکتی زیر را بدست آورید.
مثال: حل معادله براکتی زیر را بدست بیاورید.
تابع جز صحیح
توابع که در آنها متغییر مستقل x داخل جزء صحیح قرار بگیرد به توابع براکتی معروف هستند. مهم ترین موضوع در این مبحث رسم آنها میباشد.
رسم توابع جزء صحیح: برای رسم توابع جز صحیح مراحل زیر را طی میکنیم:
1 – بازه بندی : زمانی که میخواهیم ما یک تابع براکتی را رسم نماییم در خود سوال بازه کلی آن را میدهند ولی ما آن بازه کلی را به بازه های کوچکتر تقسیم میکنیم.
طول هر بازه برابر با 
است.
بازه بندی
2 – رسم تابع
