تدریس فصل سوم ریاضی دهم ریاضی – توان های گویا و عبارت های جبری

فصل سوم ریاضی دهم

فصل سوم ریاضی پایه دهم در مورد توان های گویا و عبارت جبری میباشد که شامل درس های ریشه و توان , ریشه nام ,توان های گویا و عبارت های جبری میباشد.

ریشه و توان

توان و ریشه اصطلاحاتی هستند که ضرب مکرر یک عدد را بیان می کنند.

توان: هر گاه یک عدد را به تعداد عدد توان در خودش ضرب بزنیم به این عملیه توان گویند.

هنگام محاسبه 2×2×2×2×2 میتوانیم به شکل 2⁵ نیز این عبارت را محاسبه کنیم,  2⁵ یعنی عدد 2 , 5 بار در خودش ضرب شده است.

نکته: اگر متغیری فاقد توان باشد، آن را 1 در نظر می گیریم.

همچنین هر متغیری به توان 0 (صفر) برابر با 1 است.

توان منفی

اگر عددی به توان منفی برسد، به این معنی است که باید معکوس آن عبارت با توان مثبت را محاسبه کنیم.

به طور مثال:

بیایید عکس این عبارت را در نظر بگیریم.

همانطور که  2×2×2×2×2=32 میشود , میتوانیم بگوییم ریشه 5 ام عدد 32 , عبارت از 2 است.

نماهای کسری

نماهای کسری معادل ریشه هستند که در قانون توان های زیر نشان داده شده است.

مثال

می توانید از همان عبارت برای نوشتن هر ریشه به عنوان یک توان کسری استفاده کنید.

مثال

توان های گویا ریاضی دهم

توان های گویا , اعدادی هستند که به صورت اعداد گویا بیان می شوند، یعنی در ، a پایه و p/q توان گویا است که باشد. در توان گویا، پایه باید یک عدد صحیح مثبت باشد. قواعد توان های گویا مشابه قواعد توان های عدد صحیح است. صورت‌ یک توان گویا نشان‌دهنده توان است در حالی که مخرج یک توان گویا نشان‌دهنده فرجه رادیکال است.

توان های گویا مانند شکل زیر نشان داده میشوند.

فرمول های توان های گویا ریاضی دهم

در اینجا برخی از فرمول های توان های گویا را که برای حل مسائل مختلف جبری استفاده می شود، مرور میکنیم.

توان های گویا و رادیکال

ما میتوانیم با شناسایی توان های گویا , آنها را به صورت رادیکال بنویسیم. توان گویای  را در نظر گرفته و مراحل ذیل را پیش میبریم:

1 . صورت توان گویا , توان رادیکال میباشد . در  , m توان رادیکال است.

2 . مخرج توان گویا , فرجه رادیکال میباشد. در   , n فرجه رادیکال است.

3 . قاعده توان , را در موقعیت عدد زیر رادیکال مینویسیم. در   , a رادیکاند است.

مثال:

عبارت های جبری ریاضی دهم

عبارات جبری عبارت های ریاضی هستند که وقتی عملیات هایی مانند جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و غیره بر روی متغیرها و ثابت ها انجام می شود، به دست می آوریم. یعنی عبارت جبری ترکیبی از ثابت ها , متغیر ها و عملیات جبری (جمع , تفریق , ضرب و تقسیم ) است.

مثال:

5x + 4y + 10

2x²y – 3xy²

اجزای یک عبارت جبری عبارتند از:

5x+7

متغیر: نمادی که مقدار ثابتی ندارد متغیر یاد میشود. هر ارزشی میتواند داشته باشد.

x = متغیر

ثابت : نمادی که دارای مقدار ثابت است, ثابت نامیده میشود. همه اعداد ثابت هستند.

7 = ثابت

ضریب : در یک عبارت جبری اعدادی که در حالت ضرب با متغیر ها قرار دارد , ضریب نامیده میشود.

5 = ضریب

جمله یا اصطلاح : یک اصطلاح میتواند یک عدد , یک متغیر , حاصل ضرب دو یا چند متغیر یا خاصل ضرب یک عدد با یک متغیر باشد.

5x

7

ab

ساده سازی عبارات جبری ریاضی دهم

برای ساده کردن یک عبارت جبری، فقط عبارت (جمله) های مشابه را با هم ترکیب می کنیم. بنابراین، متغیرهای مشابه با هم ترکیب خواهند شد. حالا از بین متغیرهای مشابه، آن های که توان های مشابه دارند با هم ترکیب می شوند. به عنوان مثال، اجازه دهید یک عبارت جبری را در نظر بگیریم و سعی کنیم آن را به پایین ترین شکل آن کاهش دهیم تا مفهوم را بهتر درک کنیم.

x³ + 3x² − 2x³ + 2x − x² + 3 − x

(x³ − 2x³) + (3x² − x²) + (2x − x) + 3=

x³ + 2x² + x + 3−=

جمع عبارت های جبری

منهای عبارت های جبری

برای تفریق دو عبارت جبری، معکوس عبارت دوم را به عبارت اول اضافه می کنیم.

مثال:

ضرب عبارات جبری

برای ضرب دو عبارت جبری، هر جمله عبارت اول را با هر جمله عبارت دوم ضرب می کنیم و بعد حاصل ضرب آنها را با هم ترکیب می کنیم.

مثال

تقسیم عبارات جبری

برای تقسیم دو عبارت جبری،از صورت و مخرج فاکتور گیری می کنیم، تا جاییکه اجازه میدهد و ممکن است عبارت های مشابه را اختصار و ساده می کنیم.

مثال

فرمول های عبارات جبری

در زیر فهرستی از برخی از فرمول های اساسی عبارات جبری که به طور گسترده استفاده می شوند را لیست نموده ایم.

اتحاد عبارت های جبری ریاضی دهم

اگر دو عبارت جبری به گونه ای باشند که به ازای هر مقدار برای متغیر های شان , حاصل یکسانی داشته باشند. برابر جبری حاصل از آنها را , اتحاد جبری می نامیم.

مثال

گویا کردن مخرج کسر ها ریاضی دهم

گاهی اوقات برای ساده کردن یک عبارت رادیکالی یا آسان تر کردن محاسبات، لازم است مخرج یک کسر را از حالت رادیکالی خارج کنیم؛ به طور مثال برای محاسبهٔ  این عبارت را باید گویا کنیم.

برای گویا کردن مخرج کسر صورت و مخرج را ضرب یا تقسیم در یک عبارت رادیکالی مناسب میکنیم.