جواب درس 1 فصل دوم ریاضی یازدهم تجربی – سوالات قضیه تالس در ذوزنقه

جواب فصل دوم ریاضی یازدهم تجربی

جواب فصل دوم ریاضی یازدهم تجربی – درس 1

جواب سوال داخل متن صفحه 26 ریاضی یازدهم

انسان از دیرباز برای حل بسیاری از مسائل خود از ترسیم های هندسی کمک گرفته است. فرض کنید بخواهیم زمینی مثلث شکل را تنها با کشیدن یک دیوار مستقیم به دو قسمت هم مساحت تقسیم نماییم. چگونه میتوان این کار را انجام داد؟

جواب: با رسم میانه‌ی مثلث (یعنی کشیدن دیوار از رأس به وسط ضلع مقابل)، زمین به دو قسمت دقیقاً هم ‌مساحت تقسیم می‌شود.

جواب فعالیت صفحه 26 ریاضی یازدهم تجربی

جواب:

1 – دایره به شعاع 2 سانتی متر

2 – دو سانتی متر

نتیجه: دایره C(O,r) (بخوانید دایره C به مرکز O و به شعاع r) را در نظر بگیرید. هر نقطه که از نقطه O به فاصله r باشد …روی… دایره قرار دارد و هر نقطه که …روی… دایره قرار دارد از نقطه O به فاصله r است.

3 – در دایره‌ای به مرکز O و شعاع r اگر فاصله‌ی یک نقطه از مرکز دایره کمتر از شعاع باشد، آن نقطه در داخل دایره قرار می‌گیرد؛ همچنین هر نقطه‌ای که داخل دایره باشد، فاصله‌اش از مرکز کمتر از شعاع است.

همچنین در همین دایره، اگر فاصله‌ی یک نقطه از مرکز بیشتر از شعاع باشد، آن نقطه خارج از دایره قرار دارد؛ و هر نقطه‌ای که خارج از دایره باشد، فاصله‌ی آن از مرکز دایره بیشتر از شعاع خواهد بود.

4 –  دو خط موازی خط d به فاصله 2 سانتی متر از خط d

5 – 

6 – الف )

ب ) دو نقطه‌ی A و B را به گونه‌ای انتخاب می‌کنیم که فاصله‌ی آن‌ها ۷ سانتی‌متر باشد. سپس با مرکز A و شعاع ۴ سانتی‌متر یک کمان رسم می‌کنیم. بعد از آن با مرکز B و شعاع ۵ سانتی‌متر کمان دیگری ترسیم می‌نماییم. این دو کمان یکدیگر را در دو نقطه، مانند C و D، قطع می‌کنند. با اتصال این نقاط به A و B، دو مثلث ACBو ADBبه دست می‌آید.

جواب صفحه 27 ریاضی یازدهم تجربی

جواب فعالیت صفحه 27 ریاضی یازدهم تجربی

۱- نقطه P در صفحه مشخص شده است. چند خط می‌توانید رسم کنید که از نقطه P عبور نمایند؟

جواب: بیشمار خط میتوان رسم کرد.

۲- دو نقطه A و B در صفحه مشخص شده‌اند. چند خط متمایز می‌توانید رسم کنید که از هر دو نقطه A و B عبور نمایند؟

ریاضی یازدهم ص 27 فقط یک خط عبور میکند.

۳- به نظر شما برای اینکه یک خط مشخص شود حداقل چند نقطه از آن باید مشخص شده باشد؟

جواب:  حد اقل دو نقطه از خط باید مشخص شود

رسم عمود منصف صفحه 27 ریاضی یازدهم تجربی

می‌خواهیم عمود منصف پاره‌خط AB را رسم کنیم.
۱- دهانه پرگار را بیش از نصف طول AB باز کنید و یک بار به مرکز نقطه A و بار دیگر به همان شعاع و به مرکز B کمان بزنید تا دو کمان یکدیگر را در نقاطی مانند P و Q قطع کنند.

جواب:

۲- آیا نقاط P و Q نقاطی متعلق به عمود منصف AB هستند؟ چرا؟

جواب: بله – چون از دو سر پاره خط AB به یک فاصله هستند.

۳- آیا با داشتن نقاط P و Q می‌توان عمود منصف AB را مشخص کرد؟ چرا؟

جواب: بله – چون برای رسم هر خط دو نقطه لازم است.

۴- حال عمود منصف AB را رسم کنید.

جواب:

رسم خط عمود صفحه 28 ریاضی یازدهم تجربی

خط d و نقطه M روی آن مانند شکل مشخص شده‌اند. می‌خواهیم خطی رسم کنیم که از M بگذرد و بر خط d عمود باشد.
۱- به کمک پرگار نقاطی مانند A و B بر خط d بیابید AM=MB باشد.
۲- عمود منصف پاره‌خط AB را رسم کنید.

جواب:

دایره با مرکز M و شعاع دلخواه r ترسیم میکنیم. خط d این دایره را در دو نقطه قطع میکند که آن ها را  A و B می نامیم. در نتیجه داریم :

AM=MB=r

۳- عمود منصف پاره‌خط AB خطی است که بر خط d …عمود… و از نقطه …M می گذرد…

رسم خط عمود بر یک خط از نقطه ای غیر … صفحه 28 ریاضی 11

خط d و نقطه P مانند شکل داده شده‌اند. می‌خواهیم خطی رسم کنیم که از نقطه P بگذرد و بر خط d عمود باشد.
۱- به کمک پرگار نقاطی مانند A و B را برخط d به گونه ای بیابید که از نقطه P به یک فاصله باشند.

جواب: دایره ای به مرکز P رسم میکنیم به گونه ای که شعاع آن از فاصله ی P تا خط d بزرگ تر باشد. نقاطی که این دایره با خط d برخورد میکند را A و B می نامیم.

۲- عمود منصف پاره‌خط AB را رسم کنید.

جواب:

۳- آیا عمود منصف پاره‌خط AB از نقطه P می‌گذرد؟ چرا؟

جواب: بله – چون فاصله این نقطه از دو سر پاره خط به یک فاصله است.

عمود منصف پاره‌خط AB برخط d …عمود… و از نقطه …P می گذرد… .

رسم خط با موازی با خط داده شده… صفحه 28 ریاضی یازدهم

خط d و نقطه P مانند شکل مقابل داده شده‌اند. می‌خواهیم خطی رسم کنیم که از نقطه P بگذرد و با خط d موازی باشد.

۱- خط d_۱ را به گونه ای رسم کنید که از نقطه P بگذرد و بر خط d عمود باشد.
۲- خط d_۲ را به گونه ای رسم کنید که از نقطه P بگذرد و بر خط d_۱ عمود باشد.

جواب:

۳- خط d_۲ نسبت به خط d چه وضعیتی دارد؟ چرا؟ (خط d_۱ را مورب در نظر بگیرید)

جواب: این دو خط با هم موازی هستند ، فرض کنیم خط d1 مورب باشد و این خط ،دو خط d و d2 را در نقاط M و P قطع کند. تمام زاویه های به وجود آمده توسط خط مورب برابر 90 درجه هستند. بنابر این طبق قضیه خطوط موازی، این دو خط نیز با یکدیگر موازی خواهند بود.

برخی خواص نیمساز و ترسیم آن صفحه 28 و 29 ریاضی 11

۱- در شکل زیر نیم خط Ow نیمساز زاویه vOu است. فرض کنید P یک نقطه دلخواه روی Ow باشد. ثابت کنید فاصله نقطه P از دو ضلع زاویه vOu یکسان است. (یعنی اگر از نقطه P عمودهایی بر Ov و Ou رسم کنیم، طول آنها باهم برابر است.)

جواب:

۲- در شکل زیر فاصله نقطه P از دو ضلع زاویه vOu یکسان است. نشان دهید که نقطه P روی نیمساز زاویه قرار دارد.

(راهنمایی: پاره‌خط OP را و دو عمود از نقطه P بر Ou و Ov رسم کنید و با استفاده از هم‌نهشتی مثلث‌ها نشان دهید OP همان نیمساز زاویه uOv است)

جواب:

3 –  رسم نیمساز یک زاویه 

الف) زاویه uOv را در نظر بگیرید. به مرکز O و به شعاع دلخواه کمانی رسم کنید تا نیم خط‌های Ou و Ov را در نقاطی مانند P و Q قطع کند.

– طول پاره خط های OP و OQ نسب به هم چگونه اند؟

جواب: OP=OQ=r₁

ب) دهانه پرگار را کمی بیش از نصف طول پاره‌خط PQ باز کنید و یک بار به مرکز P و بار دیگر به مرکز Q کمانی رسم کنید تا دو کمان مانند شکل یکدیگر را در نقطه‌ای مانند W قطع کنند. طول پاره خط‌های PW و QW نسبت به هم چگونه اند؟

جواب: OW=PW=r₂

پ) پاره خط‌های PO، WO و WQ را رسم کنید. دو مثلث OPW و OQW نسبت به هم چگونه اند؟ چرا؟

جواب:

OW=OW
PW=QW
OP=OQ
پس بنا به حالت برابری سه ضلع دو مثلث OPW و OQW هم نهشت هستند.

– اندازه زاویه‌های POW و QOW نسبت به هم چگونه اند؟ چرا؟ با هم برابرند زیرا دو مثلث همنهشت هستند.
– پاره‌خط OW …نیمساز… زاویه uOv است.

جواب تمرین صفحه 29 و 30 ریاضی یازدهم

۱- الف) دو پاره‌خط AB و CD مطابق شکل داده شده‌اند. نقطه‌ای بیابید که از دو نقطه A و B به یک فاصله باشد و از دو نقطه D و C نیز به یک فاصله باشد.

جواب:

بنابر خاصیت عمود منصف، نقطه ای که از دو نقطه ی A و  B به یک فاصله باشد روی عمود منصف پاره خط AB قرار دارد و همچنین نقطه ای که از دو نقطه ی D  و C فاصله ثابت دارد روی عمود منصف پاره خط CD قرار دارد. بنابر این جواب مسئله محل برخورد این دو عمود منصف است.

ب) نقطه مورد نظر در قسمت (الف) را O می‌نامیم. اگر نقطه O روی عمود منصف پاره‌خط BC باشد و G دایره‌ای به مرکز O و به شعاع OA باشد، راس‌های چهارضلعی ABCD نسبت به دایره G چه وضعیتی دارند؟ چرا؟

جواب: با توجه به بند الف:

نقطه O روی عمود منصف AB است، بنابر این OA=OB  (1)

نقطه O روی عمود منصف CD است، بنابر این OC=OD  (2)

و با توجه به فرض قسمت (ب)، نقطه O روی عمود منصف BC است، بنابر این OC=OB (3)

از روابط (1) و (3) نتیجه می گیریم که OA=OC (4)

از روابط (4) و (2) نتیجه میگیریم که: OA=OB=OC=OD

بنابر این فاصله نقاط B ، C و D از نقطه O برابر شعاع دایره یعنی OA  است، پس این نقاط روی دایره قرار دارند.

۲- مثلثی دلخواه رسم کنید و آن را ABC بنامید. عمود منصف‌های دو ضلع این مثلث را رسم کنید و نقطه برخورد آنها را O بنامید. به مرکز O و به شعاع OA یک دایره رسم کنید. نقاط B و C نسبت به این دایره چه وضعیتی دارند؟ چرا؟

جواب:

نقاط B و C روی این دایره اند، زیرا:

نقطه O روی عمود منصف AC قرار دارد، بنابر این OA=OC (1)

نقطه O روی عمود منصف AB قرار دارد، بنابر این OA=OB (2)

از رابطه (1) و (2) نتیجه می گیریم که OA=OB=OC ، پس نقاط B و C روی دایره به شعاع OA می باشند.

۳- مثلثی دلخواه رسم کنید و آن را ABC بنامید. نیمسازهای دو زاویه این مثلث را رسم کنید و نقطه برخورد آنها را O بنامید. از نقطه O بر سه ضلع مثلث عمود رسم کنید و پای یکی از عمودها را H بنامید. به مرکز O و به شعاع OH دایره‌ای رسم کنید. اضلاع مثلث ABC نسبت به این دایره چه وضعیتی دارند؟ چرا؟

جواب:

اضلاع مثلث در پای عمود ها بر دایره مماس هستند.

نقطه O روی نیم ساز زاویه A است، بنابر این OH=OE (1)

نقطه O روی نیم ساز زاویه B است، بنابر این OH=OF (2)

از روابط (1) و (2) نتیجه می گیریم که OH=OE=OF

پس نقاط E و F هم روی این دایره قرار دارند و اگر شعاع در نقطه تماس با خطی، بر ان عمود باشد، پس آن خط بر دایره مماس است، پس اضلاع مثلث بر این دایره مماس هستند.

۴- فرض کنید نقطه A به فاصله ۴ سانتی‌متر از خط d باشد. روش رسم هریک از مثلث‌های زیر را توضیح دهید.
الف) مثلثی متساوی‌الساقین که A یک راس آن و قاعده آن بر خط d منطبق باشد.

جواب:

الف : دایره ای به مرکز A و شعاع r (بیشتر از 4 باشد) می زنیم محل برخورد این دایره با خط d همان نقاط دیگر راس های مثلث است زیرا:

AC=AB=r

ب) مثلثی که شرایط (الف) را داشته باشد و طول ساق آن ۶ سانتی‌متر باشد.

جواب:

ب) دایره ای به مرکز A و شعاع r=6 می زنیم محل برخورد این دایره با خط d همان نقاط دیگر راس های مثلث است زیرا:

AC=AB=6

پ) مثلثی رسم کنید که شرایط قسمت (الف) را داشته باشد و مساحت آن ۸cm^۲ باشد.

جواب: