تدریس فصل سوم هندسه دهم – جواب فصل سوم

فصل سوم هندسه دهم

هندسه دهم فصل 3

چند ضلعی ها هندسه دهم

در دنیای هنر، معماری و طراحی، هندسه یکی از پایه ‌های مهم و کاربردی است. یکی از مفاهیم اصلی در هندسه، چندضلعی ‌ها هستند. این اشکال، از پاره‌خط ‌هایی ساخته می‌ شوند که می‌توانند نقش اساسی در طراحی سازه‌ ها، تزیینات هنری و ساختار های معماری داشته باشند. در این مقاله، با تعریف دقیق چند  ضلعی، ویژگی ‌های آن، انواع چهارضلعی ‌ها، و تفاوت ‌های آنها آشنا می ‌شویم.

تعریف چندضلعی هندسه دهم

چند ضلعی (Polygon) شکلی است بسته که از تعدادی پاره ‌خط متوالی تشکیل شده است. این پاره‌خط ‌ها به شکلی به هم متصل می ‌شوند که هیچ دو پاره‌ خطی جز در رأس‌ های خود با هم تلاقی ندارند.

شرایط چندضلعی معتبر

برای اینکه شکلی چند ضلعی معتبر باشد، باید:

هر ضلع (پاره‌ خط) دقیقاً با دو ضلع دیگر در نقاط انتهایی خود تلاقی داشته باشد.

هیچ دو ضلع مجاوری روی یک خط راست قرار نگرفته باشند (یعنی زاویه تشکیل دهند).

اجزای چند ضلعی

ضلع: هر پاره ‌خط تشکیل ‌دهنده چندضلعی.

رأس: نقطه مشترک دو ضلع مجاور.

ضلع مجاور: دو ضلعی که یک رأس مشترک دارند.

زاویه داخلی: زاویه‌ای که بین دو ضلع مجاور درون شکل تشکیل می ‌شود.

تشخیص چند ضلعی

در بین شکل ‌های مختلف، تنها آنهایی چند ضلعی هستند که:

• بسته باشند.
• از پاره‌خط‌های متوالی ساخته شده باشند.
• هیچ دو ضلع، به جز در رأس ‌ها با هم برخورد نکنند.

مثال:

قطر چند ضلعی چیست؟

قطر چند ضلعی پاره ‌خطی است که دو رأس غیرمجاور را به هم وصل می‌کند.

مثال: در یک پنج ‌ضلعی، اگر رأس A به رأس D وصل شود (و این دو رأس در کنار هم نباشند)، خط AD یک قطر است.

چهارضلعی‌ های مهم و ویژگی ‌های آنها هندسه دهم

چهارضلعی ‌ها یکی از پرکاربرد ترین چند ضلعی ‌ها در هندسه هستند. در ادامه، انواع معروف چهارضلعی ‌ها و ویژگی‌های آن ‌ها را بررسی می‌کنیم:

1 –  متوازی‌الأضلاع (Parallelogram)

تعریف: چهارضلعی‌ای که هر دو ضلع مقابل آن موازی باشند.

ویژگی‌ها:

هر دو ضلع مقابل هم ‌اندازه‌اند.

هر دو زاویه  مقابل با هم برابرند.

هر دو زاویه مجاور مکمل‌ اند:
فرمول:‌

قطرها نقطه وسط یکدیگر را قطع می‌کنند (یعنی منصف یکدیگرند).

2 –  مستطیل (Rectangle)

تعریف: چهارضلعی ‌ای که همه زاویه ‌های آن قائمه (۹۰ درجه) باشند.

ویژگی‌ ها:

هر دو ضلع مقابل هم ‌اندازه و موازی ‌اند.

قطرها با هم برابرند و یکدیگر را نصف می ‌کنند.

همه زوایا ۹۰ درجه‌اند:

3 – لوزی (Rhombus)

تعریف: چهار ضلعی‌ای که همه ضلع‌ های آن برابر باشند.

ویژگی‌های لوزی:

قطرها بر هم عمود هستند.

قطرها، زاویه‌ها را دو نیم می‌کنند (نیمساز زوایا هستند)

لوزی یک نوع متوازی ‌الأضلاع است ولی برعکس آن درست نیست.

مثلث ‌های تشکیل‌ شده از قط رها، متساوی‌ الساقین یا متساوی ‌الاضلاع‌اند.

4 –  مربع (Square)

تعریف: چهارضلعی‌ای که همه ضلع ‌ها برابر و همه زاویه ‌ها ۹۰ درجه باشند.

مربع، هم مستطیل است، هم لوزی، و هم متوازی‌ الأضلاع.

5 – ذوزنقه (Trapezoid)

تعریف: چهارضلعی‌ای که فقط یک جفت ضلع آن با هم موازی ‌اند.

انواع ذوزنقه:

• ذوزنقه متساوی‌الساقین: دو ساق آن برابرند.
• زوایای مجاور به هر قاعده با هم برابرند.
• قطر ها برابرند:

BD=AC

ویژگی ‌ها و قضایا

قضایای مربوط به متوازی‌الأضلاع هندسه دهم

اگر در یک چهارضلعی شرایط بالا برقرار باشد، آن شکل حتماً یک متوازی‌الأضلاع است.

ویژگی منحصر به ‌فرد لوزی

در لوزی، قطرها:

هم ‌دیگر را عمود قطع می‌کنند.

زاویه ها را نصف می‌ کنند.

ممکن است مثلث ‌های متساوی‌الساقین تشکیل دهند.

نکات تکمیلی

اگر در یک چهارضلعی، دو ضلع مقابل هم اندازه و موازی باشند، شکل متوازی‌الأضلاع است.

اگر فقط قطر ها با هم برابر باشند (بدون داشتن سایر ویژگی ‌ها)، نمی‌ توان نتیجه گرفت که شکل حتماً مستطیل است.

اگر چهارضلعی متوازی ‌الأضلاع باشد و قطر ها برابر باشند، آن چهارضلعی مستطیل خواهد بود.

مساحت و کاربرد های آن هندسه دهم

در سال ‌های گذشته با مفهوم مساحت آشنا شدیم. مساحت در هندسه، ابزاری کلیدی برای محاسبه‌ی اندازه‌ی سطح اشکال دوبعدی است. در این مقاله با یادآوری مساحت چهارضلعی ‌های مهم و کاربرد های آن در حل مسائل هندسی و استفاده از فرمول پیک برای چند ضلعی  ‌های شبکه‌ای آشنا می‌ شویم.

یادآوری فرمول مساحت‌ های پایه:

مربع

که a طول ضلع مربع است.

مثلث

اگر a طول قاعده و h ارتفاع وارد بر آن باشد:

فرمول مساحت مثلث با ضلع و ارتفاع ‌های متناظر:

اگر اضلاع مثلث a, b, c و ارتفاع های متناظر h_a, h_b, h_c  باشند.

کاربرد هایی از مساحت هندسه دهم

ویژگی 1:

در دو مثلث با قاعده‌ های برابر، نسبت مساحت‌ ها برابر نسبت ارتفاع ‌های متناظر است:

ویژگی 2:

در دو مثلث با ارتفاع‌ های برابر، نسبت مساحت ‌ها برابر نسبت قاعده ‌های متناظر است:

کاربرد عملی: تنظیم مرز مشترک دو مزرعه

فرض کنید دو مزرعه ABC متعلق به دو کشاورز باشد. برای حفظ مساحت زمین   ‌ها و تبدیل مرز به پاره خط مستقیم، خطی مانند EF موازی با ضلع AC رسم می‌کنیم به طوری که از نقطه B عبور کند و دو رأس A و C را قطع کند. چون این خط موازی با ضلع پایینی است و از رأس مشترک می ‌گذرد، مساحت دو بخش حفظ می  ‌شود.

چند ضلعی ‌های شبکه‌ای و فرمول پیک هندسه دهم

تعریف:

چندضلعی ‌هایی که رأس‌ های آنها روی نقاط شبکه‌ای (نقاطی که فاصله مساوی در خطوط افقی و عمودی دارند) قرار دارد، چندضلعی‌ های شبکه‌ای نام دارند.

نقاط مرزی هندسه دهم

نقاط مرزی (b): نقاطی از شبکه که روی ضلع ‌ها یا رأس ‌های چندضلعی قرار دارند.

نقاط درونی هندسه دهم

نقاط درونی (i): نقاطی از شبکه که داخل چندضلعی قرار دارند.

فرمول پیک:

جرج الکساندر پیک رابطه‌ای ساده برای محاسبه مساحت چندضلعی‌های شبکه‌ای ارائه داد:

که:

S مساحت چندضلعی (بر حسب واحد سطح)

iتعداد نقاط درونی شبکه‌ای

b تعداد نقاط مرزی شبکه‌ای

جواب فصل سوم هندسه دهم –  درس اول

جواب صفحه 54 هندسه دهم

جواب صفحه 55 هندسه دهم

جواب کار در کلاس صفحه 55 هندسه دهم

جواب کار در کلاس صفحه 56 هندسه دهم

جواب فعالیت صفحه 56 هندسه دهم

جواب صفحه کار در کلاس صفحه 57 هندسه دهم

جواب صفحه 57 هندسه دهم

جواب فعالیت صفحه 57 هندسه دهم

جواب سوال متن صفحه 58 هندسه دهم

جواب فعالیت 3 صفحه 58 هندسه دهم

جواب فعالیت 4 صفحه 58 هندسه دهم

جواب فعالیت صفحه 59 هندسه دهم

جواب سوال متن صفحه 59 هندسه دهم

جواب فعالیت صفحه 60 هندسه دهم

جواب سوال متن صفحه 61 هندسه دهم

جواب کار در کلاس صفحه 61 هندسه دهم

جواب صفحه 62 هندسه دهم

جواب فعالیت صفحه 62 هندسه دهم

جواب فعالیت صفحه 63 هندسه دهم

جواب تمرین صفحه 63 هندسه دهم

جواب صفحه 64 هندسه دهم

جواب فصل سوم هندسه دهم – درس دوم

جواب کار در کلاس صفحه 65 هندسه دهم

جواب فعالیت صفحه 65 هندسه دهم

جواب کار در کلاس صفحه 66 هندسه دهم

جواب فعالیت صفحه 67 هندسه دهم

جواب یک مسئله صفحه 68 هندسه دهم

جواب فعالیت صفحه 68 هندسه دهم

جواب فعالیت 2 صفحه 68 هندسه دهم

جواب سوال متن صفحه 69 هندسه دهم

جواب فعالیت صفحه 69 هندسه دهم

جواب کار در کلاس صفحه 71 هندسه دهم

جواب تمرین صفحه 72 هندسه دهم

جواب صفحه 73 هندسه دهم