درس اول فصل هفتم ریاضی یازدهم تجربی
آمار و احتمال
احتمال شرطی و پیش آمد های مستقل – درس 1 فصل 7 ریاضی 11 تجربی
در دنیای واقعی، اتفاقات به هم وابسته هستند. مثلاً، احتمال اینکه باران ببارد، با این شرط که “ابرها سیاه باشند” تغییر میکند. یا احتمال اینکه شما یک امتحان را با موفقیت بگذرانید، با این شرط که “شب قبل خوب مطالعه کرده باشید” متفاوت است. برای محاسبه دقیق این تغییرات، از احتمال شرطی استفاده میکنیم و برای بررسی اینکه آیا دو اتفاق اصلاً به هم ربط دارند یا خیر، از مفهوم استقلال بهره میگیریم.
احتمال شرطی (Conditional Probability) ریاضی یازدهم
احتمال شرطی، احتمال وقوع یک پیشامد (مثلا پیشامد A) است، به شرط آنکه پیشامد دیگری (مثلا پیشامد B) قبلاً رخ داده باشد. در واقع، وقتی شرطی برقرار میشود، “فضای نمونه” ما کوچکتر میشود. ما دیگر تمام جهان را در نظر نمیگیریم، بلکه فقط دنیایی را بررسی میکنیم که در آن B اتفاق افتاده است.
فرمول احتمال شرطی
اگر A و B دو رویداد باشند، احتمال شرطی A به شرط B به صورت زیر تعریف می شود:
– P(A|B): احتمال رخ دادن A به شرطی که B رخ داده است.
– P(A ∩ B): احتمال رخ دادن همزمان A و B.
– P(B): احتمال رخ دادن B.
مثال
فرض کنید یک تاس می اندازیم.
– رویداد A: عدد رو آمده زوج باشد.
– رویداد B: عدد روآمده بزرگتر از ۳ باشد.
احتمال شرطی A به شرط B:
(اعداد بزرگتر از ۳: ۴، ۵، ۶ → اعداد زوج: ۴ و ۶)
رابطه بین پیشامدها ریاضی یازدهم تجربی
در مبحث احتمال، وقتی ما با دو پیشامد A و B سر و کار داریم، اولین سوالی که از خودمان میپرسیم این است: «آیا وقوع یکی از اینها، روی احتمال وقوع دیگری اثر میگذارد؟»
پاسخ به این سوال، ما را به دو دسته تقسیم میکند:
- الف) پیشامدهای مستقل (Independent Events): وقتی هیچ اثری بر هم ندارند. (مثل پرتاب سکه و پرتاب تاس).
- ب) پیشامدهای وابسته (Dependent Events): وقتی وقوع یکی، احتمال دیگری را تغییر میدهد. (مثل کشیدن دو کارت از دسته ورق بدون بازگرداندن کارت اول).
۱. پیشامد های مستقل:
– اگر رخ دادن B تأثیری روی احتمال A نداشته باشد، A و B مستقل هستند.
– فرمول:
– مثال: انداختن سکه و تاس.
احتمال شیر آمدن سکه (A) مستقل از احتمال آمدن ۶ در تاس (B) است.
۲. پیشامد های وابسته:
– اگر رخ دادن B احتمال A را تغییر دهد، A و B وابسته هستند.
– مثال: کشیدن دو کارت از یک دسته بدون جایگزینی.
احتمال کشیدن آس در کش دوم به کش اول بستگی دارد.
خواص احتمال شرطی ریاضی یازدهم
مثال ۱: در یک کلاس ۶۰ نفر، ۲۰ نفر فوتبال دوست دارند و ۳۰ نفر بسکتبال. اگر ۱۰ نفر هر دو را دوست داشته باشند، احتمال اینکه یک دانش آموز تصادفی فوتبال دوست داشته باشد به شرطی که بسکتبال دوست دارد چقدر است؟
حل:
مثال ۲: یک کیسه حاوی ۳ توپ قرمز و ۲ توپ آبی است. اگر دو توپ بدون جایگزینی کشیده شود، احتمال قرمز بودن توپ دوم به شرط قرمز بودن توپ اول چقدر است؟
حل:
– پس از کشیدن توپ قرمز اول، ۲ توپ قرمز و ۲ توپ آبی باقی می مانند.