تدریس فصل ششم ریاضی نهم – خط و معادله های خطی

ریاضی نهم فصل 6

ریاضی نهم فصل ششم

این فصل ریاضی پایه نهم در مورد خط و معادله های خطی است , که شامل درس های : معادله خط, شیب خط و عرض از مبدا و دستگاه معادله های خطی میباشد.

ریاضی نهم معادله خط

معادله خطی چیست؟

معادله خطی یک معادله جبری است که در آن هر جمله دارای توان 1 است. وهنگامی که این معادله نمودار میشود, همیشه یک خط مستقیم بدست می آید.

هر معادله به صورت y=ax+bمعادله یک خط است. زیرا در صورتی که تمام پاسخ های آن معادله را به صورت نقطه روی دستگاه مختصات نمایش دهیم , شکل یک خط بدست می آید. به همین دلیل گفته میوشد که x و y با هم رابطه خطی دارند.

اجازه دهید مثالی از ترسیم نمودار یک معادله خطی با یک متغیر را ببینیم. باید معادله  x+2y=7را در یک نمودار نشان دهیم.

در اینجا، معادله  x+2y=7یک خط مستقیم روی نمودار ایجاد می کند. به طور مشابه، تمام معادلات خطی یک خط مستقیم روی نمودار با هر دو, یک یا دو متغیر ایجاد می کنند.

نمودار یک معادله خطی در یک متغیر x یک خط عمودی را تشکیل می دهد که موازی با محور y و بالعکس است، در حالی که نمودار یک معادله خطی در دو متغیر x و y یک خط مستقیم را تشکیل می دهد.

ریاضی نهم شیب خط و عرض از مبدا

در معادله خط y= ax+b , عدد a شیب خط نامیده میشود. با تغییر a زاویه خط با جهت مثبت محور طول ها تغییر میکند.

عدد b نشان دهنده محل برخورد خط با محور عرض ها است, به این دلیل به آن عرض از مبداّ میگویند.

فرمول شیب به فرمولی اشاره دارد که برای محاسبه شیب یک خط استفاده می شود و میزان شیب آن را تعیین می کند. برای محاسبه شیب خطوط می توان از مختصات x و y نقاطی که روی خط قرار دارند استفاده کرد. به عبارت دیگر، نسبت تغییر در محور y به تغییر در محور x است.

فرمول محاسبه شیب به صورت زیر است:

که در آن، m شیب خط، (x₁, y₁) نشان دهنده نقطه اول است و (x₂, y₂) نشان دهنده نقطه دوم است.

مهم است که مختصات x و y را هم در صورت و هم در مخرج به یک ترتیب نگه دارید، در غیر این صورت شیب اشتباهی خواهید داشت.

چگونه شیب خط را پیدا کنیم ریاضی نهم

به طور کلی، شیب یک خط، میزان شیب و جهت آن را نشان می دهد. شیب یک خط مستقیم بین دو نقطه ، (x₁, y₁) و (x₂, y₂)  را می توان به راحتی با یافتن تفاوت بین مختصات نقاط تعیین کرد. شیب معمولاً با حرف ‘m’ نشان داده می شود.

مثال

شیب خطی که نقاط آن (2,9) و (4,1)  میباشد را دریابید.

دستگاه معادلات خطی ریاضی نهم

سیستم معادلات خطی یک مفهوم ریاضی است که شامل دو یا چند معادله خطی است که متغیرهای مشابهی دارند. این معادلات در مجموع روابط بین متغیرها را تعریف می‌کنند، که اغلب خطوط، سطوح یا سطوح با ابعاد بالاتر را در فضا نشان می‌دهند. راه‌حل سیستم مجموعه‌ای از مقادیر متغیرهایی است که همه معادلات را به طور همزمان برآورده می‌کند، معمولاً مربوط به نقاط تقاطع یا اشتراک بین معادلات است.

حل یک سیستم معادله خطی

معادلات خطی می توانند سه نوع راه حل ممکن داشته باشند:

• بدون راه حل
• راه حل منحصر به فرد
• راه حل بی نهایت

چگونه دستگاه معادلات خطی را حل کنیم؟

برای حل دستگاه‌های معادلات خطی که دارای دو معادله و دو مجهول هستند، باید یک مجهول را به طریقی حذف نماییم تا یک معادله یک مجهولی داشته باشیم. برای این کار، سه روش متداول ذیل وجود دارد:

• رسم نمودار
• روش حذفی (جمع دو معادله و حذف یکی از متغیرها)
• روش جایگزینی (به دست آوردن یک متغیر از یک معادله و قرار دادن آن در معادلهٔ دیگر)

1 – حل دستگاه معادلات خطی به روش رسم نمودار

اگر یک دستگاه معادلات خطی دو مجهوله که دو معادله داشته باشد , داشته باشیم , میدانیم که نمودار هر یک از معادله ها یک خط مستقیم روی دستگاه مختصات میشود. پس برای اینکه راه حل دستگاه معادلات را با استفاده از رسم گراف آن دریابیم سه نکته مهم ذیل را در نظر میگیریم.

اگر دوخط با همدیگر موازی باشند و یکدیگر را قطع نکنند , پس دستگاه معادلات خطی , راه حل ندارد.

اگر دو خط روی همدیگر بیافتند , یعنی در بی نهایت تقاط همدیگر را قطع میکنند , به نهایت راه حل دارد.

اکر دو خط یکدیگر را فقط در یک نقطه قطع کنند , دستگاه معادلات خطی فقط یک راه حل دارد.

ریاضی نهم روش حذفی

2 – حل دستگاه معادلات خطی به روش حذفی

برای حل دستگاه معادلات خطی با این روش , معادلات را با هم دیگر جمع میکنیم تا یکی از مجهول هاحذف شود , حالا که فقط یک مجهول باقی میماند , قیمت آن را دریافته و با استفاده از آن مقدار , قیمت مجهول دومی را نیز پیدا می کنیم.

مثال: دستگاه معادلات خطی زیر را با استفاده از روش حذفی حل نمایید.

در این معادله میخواهیم متغیر x را از دو معادله حذف کنیم. ضریب متغیر x در معادله اول برابر با 2 و در معادله دوم برابر با 4 است. پس، کافی است معادله اول را در عدد 2- ضرب کنیم تا ضریب x در دو معادله، قرینه یکدیگر شود.

3 – حل دستگاه معادلات خطی با جایگزینی

به علاوه دو روش که در بالا برای حل معادلات خطی بیان کردیم , یک روش دیگر نیز برای پیدا کردن جواب های دستگاه معادلات خطی وجود دارد. در این روش مقدار یکی از متغیر‌ها را در یکی از معادلات، بر حسب متغیرهای دیگر به دست آورده و در معادله دیگر قرار می‌دهیم.

مثال: دستگاه معادلات خطی زیر را با استفاده از روش جایگزینی حل نمایید.