تابع نمایی – فصل 5 ریاضی یازدهم تجربی

درس اول فصل پنجم ریاضی یازدهم تجربی

توابع نمایی و لگاریتمی

تابع نمایی و ویژگی های آن – درس 1 فصل 5 ریاضی یازدهم تجربی

تابع نمایی نوعی تابع ریاضی است که برای یافتن رشد یا زوال جمعیت، پول، قیمت و غیره که به صورت تصاعدی در حال رشد یا زوال هستند، کمک می کند.

به طور مثال علی در حال خواندن یک مقاله خبری در مورد آخرین تحقیقات انجام شده در مورد رشد باکتری ها بود. او خواند که آزمایشی با یک باکتری انجام شد. بعد از ساعت اول، این باکتری دو برابر شد و تعداد آن دو برابر شد. بعد از ساعت دوم، عدد چهار شد. در هر ساعت تعداد باکتری ها در حال افزایش بود. او به این فکر می کرد که اگر این الگو ادامه یابد، پس از 100 ساعت تعداد باکتری ها چقدر خواهد بود. وقتی از معلمش در مورد همان سوال پرسید، پاسخی که دریافت کرد مفهوم تابع نمایی بود.

تابع نمایی چیست؟ ریاضی یازدهم

تابع نمایی همانطور که از نامش پیداست شامل توان است. اما توجه داشته باشید که، یک تابع نمایی به عنوان پایه خود یک ثابت و یک متغیر به عنوان نما دارد، اما نه برعکس (اگر تابعی یک متغیر به عنوان مبنا و یک ثابت به عنوان نما داشته باشد، تابع توان است اما تابع نمایی نیست). یک تابع نمایی می تواند به یکی از اشکال زیر باشد.

تعریف تابع نمایی

در ریاضیات تابع نمایی تابعی از فرم  است که x یک متغیر و a ثابت است که پایه تابع نامیده می شود و باید بزرگتر از 0 باشد.

چند نمونه از مثال های تابع نمایی

­­

فرمول تابع نمایی ریاضی یازدهم

یک تابع نمایی پایه، طبق تعریف آن، به شکل است، که در آن ‘b’ یک ثابت و ‘x’ یک متغیر است. یکی از توابع نمایی محبوب  است که ‘e’ “عدد اویلر” و e=2,718… است. اگر امکانات توابع نمایی مختلف را گسترش دهیم، یک تابع نمایی ممکن است یک ثابت را به عنوان مضربی از متغیر در توان خود درگیر کند. یعنی یک تابع نمایی نیز می تواند به شکل باشد. علاوه بر این، می تواند به شکل باشد، که در آن ‘p’ یک ثابت است. بنابراین، یک تابع نمایی می تواند به یکی از اشکال زیر باشد.

در اینجا، به غیر از ‘x’، همه حروف دیگر ثابت هستند، ‘x’ یک متغیر است و f(x) یک تابع نمایی بر حسب x است. همچنین توجه داشته باشید که پایه در هر تابع نمایی باید یک عدد مثبت باشد. یعنی در توابع بالاb>0   و e>0.

همچنین b نباید برابر با 1 باشد (اگر b=1، تابع f(x) = b^x تبدیل به f(x) =1  می شود و در این حالت، تابع خطی است اما نمایی نیست).

تابع نمایی زمانی به وجود می آید که مقدار کمیت در رشد نمایی افزایش یابد و در فروپاشی نمایی کاهش یابد. در جدول زیر می ‌توانیم تفاوت ‌های بیشتری بین رشد نمایی و فروپاشی همراه با فرمول ‌های آنها مشاهده کنیم.

نمودار تابع نمایی ریاضی یازدهم

ما می ‌توانیم با ذکر یک مثال، روند نمودار سازی تابع نمایی را درک کنیم. پس گراف توابع   و میخواهیم را رسم کنیم. برای ترسیم نمودار هر یک از این توابع، جدولی از مقادیر با مقادیر تصادفی x می سازیم، نقاط روی نمودار را رسم می کنیم، آنها را با یک منحنی به هم متصل می کنیم و منحنی را در هر دو طرف گسترش می دهیم. با کلیک کردن در اینجا می‌توانید فرآیند نمودارسازی تابع نمایی را به طور کامل یاد بگیرید.

با استفاده از مقادیر تصادفی برای x قیمت های را در می یابیم.

بعد نقاط بدست آمده را در روی محور مختصات نشانی می نماییم.

از وصل نمودن این نقاط به هم یک منحنی بدست می آید.

 

برای تابع بعدی نیز نکات بالا را رعایت می نماییم:

با استفاده از مقادیر تصادفی برای x قیمت های را در می یابیم.

بعد نقاط بدست آمده را در روی محور مختصات نشانی می نماییم.

از وصل نمودن این نقاط به هم یک منحنی بدست می آید.

از دو نمودار بالا، می بینیم که در حال افزایش است در حالی که کاهش می  یابد. بنابر این، نمودار تابع نمایی :

وقتی b>1 افزایش می یابد.

وقتی کاهش می یابد اگر   باشد.

مجانب تابع نمایی ریاضی یازدهم

تابع نمایی هیچ مجانبی عمودی ندارد زیرا تابع پیوسته در حال افزایش/کاهش است. اما مجانبی افقی دارد. معادله مجانب افقی تابع نمایی f(x) = ab^x + c همیشه y = c,e,i,  است. یعنی  y چیزی نیست جز “ثابتی که به قسمت توان تابع اضافه میشود=y “.

در دو نمودار بالا ، می‌توانیم متوجه شویم که مجانب افقی y=0 است زیرا در هر دو تابع چیزی به قسمت توان اضافه نمی‌شود. بنابراین،

یک تابع نمایی هرگز مجانبی عمودی ندارد.

مجانب افقی یک تابع نمایی f(x) = ab^x + c  و y=c است.

دامنه و برد تابع نمایی ریاضی یازدهم

می فهمیم که دامنه یک تابع y = f(x) مجموعه ای از تمام مقادیر x (ورودی ها) است که می توان آن را محاسبه کرد و محدوده مجموعه ای از همه مقادیر y (خروجی های) تابع است. از نمودار های و  در بخش قبل، می بینیم که یک تابع نمایی را می توان در تمام مقادیر x محاسبه کرد. بنابراین، دامنه یک تابع نمایی مجموعه ای از تمام اعداد حقیقی یا   است.

محدوده یا برد یک تابع نمایی را می توان با مجانب افقی نمودار تعیین کرد، مثلاً y = d، و با دیدن اینکه آیا نمودار بالای y = d یا زیر y = d است.

بنابراین، برای یک تابع نمایی ،

دامنه مجموعه ای از تمام اعداد حقیقی یا است.

محدوده f(x) > d اگر a >0  باشد و f(x) < d اگر a <0  باشد.

برای درک این موضوع می توانید مثال زیر را مشاهده کنید.

قوانین تابع نمایی ریاضی یازدهم

قواعد تابع نمایی همانند قوانین نما ها است. در اینجا برخی از قوانین نما ها را آورده ایم:

نکات مهم در مورد تابع نمایی:

• دامنه هر تابع نمایی مجموعه ای از تمام اعداد حقیقی است.
• یک تابع نمایی مجانبی عمودی ندارد.
• هر تابع نمایی یک مجانب افقی دارد.
• نمودار هر تابع نمایی یا در حال افزایش یا کاهش است.

معادلات نمایی ریاضی یازدهم

معادلات نمایی، همانطور که از نام آن پیداست، شامل توان هستند. می فهمیم که توان یک عدد (پایه) تعداد دفعات ضرب عدد (پایه) را نشان می دهد.

اما اگر توان یک عدد یک متغیر باشد چه اتفاقی می‌افتد؟ وقتی توان یک متغیر باشد و اگر جزئی از یک معادله باشد به آن معادله نمایی می گویند.

معادلات نمایی چیست؟

معادلات جبری که نما های متغیر دارند را معادلات با توان یا معادلات نمایی می نامند. به عبارت دیگر می توان گفت معادلات جبری که در آنها متغیرها به صورت توان قرار می گیرند به عنوان معادلات نمایی شناخته می شوند.

بطور مثال:

و غیره نمونه هایی از معادلات نمایی هستند.

انواع معادلات نمایی ریاضی یازدهم

سه نوع معادله نمایی وجود دارد. عبارت از:

فرمول های معادلات نمایی

هنگام حل یک معادله نمایی، پایه های هر دو طرف ممکن است یکسان باشند یا ممکن است یکسان نباشند. در اینجا فرمول های مورد استفاده در هر یک از این موارد را آورده ایم که در قسمت های بعدی به طور مفصل با آنها آشنا خواهیم شد.

برای اینکه بتوانیم معادله های نمایی را با استفاده از لگاریتم حل نماییم, در ابتدا لگاریتم را مورد مطالعه و بررسی قرار میدهیم.