تدریس فصل ششم ریاضی دهم تجربی – شمارش بدون شمردن

فصل ششم ریاضی دهم تجربی

شمارش بدون شمردن ریاضی دهم تجربی

شمارش چیست؟

اصل شمارش اساسی قاعده ای است که برای شمارش تعداد کل نتایج ممکن در یک موقعیت استفاده می شود.

بیان می کند که اگر n راه برای انجام کاری وجود داشته باشد و بعد از آن m راه برای انجام کار دیگری وجود داشته باشد، آنگاه n×m راه های انجام هر دوی این اقدامات وجود دارد.

به عبارت دیگر، هنگام انتخاب یک گزینه برای n و یک گزینه برای n×m, m  روش های مختلف برای انجام هر دو عمل وجود دارد.

اصل اساسی شمارش دارای دو اصل اساسی میباشد که عبارتند از:

اصل جمع و اصل ضرب

اصل جمع

اصل جمع بیان می کند که اگر یک کار را می توان به دو روش تکمیل کرد اما نه به طور همزمان، پس از افزودن راه های انجام کار می توان برای تکمیل تکلیف استفاده کرد. فرض کنید، A رویدادی است که به m صورت اتفاق می‌افتد و B رویدادی است که به n روش اتفاق می‌افتد و هر دو رویداد A و B مستقل از یکدیگر هستند، سپس A یا B هر رویدادی می‌تواند به m+n صورت اتفاق بیفتد.

اگر کاری را بتوان به دو روش انجام داد، به طوری که در روش اول  m انتخاب و در روش دوم n انتخاب وجود داشته باشد , برای انجام کار مورد نظر m+n روش وجود دارد.

مثال : در منوی شام 2 گزینه پیش غذای گیاهی و 5 گزینه غذای گوشتی وجود دارد. تعداد کل گزینه های ورودی چقدر است؟

n=2

m=5

n+m=?

می‌توانیم تعداد گزینه‌های گیاهخواری را به تعداد گزینه‌های گوشت اضافه کنیم تا تعداد کل گزینه‌های خوراکی را پیدا کنیم.

2+5=7

در کل 7 گزینه وجود دارد.

این اصل جمع را می توان برای بیش از دو رویداد تعمیم داد.

تعمیم اصل جمع ریاضی دهم تجربی

اگر کاری را به k روش بتوان انجام داد , طوری که در روش اول m₁  انتخاب , در روش دوم m₂ انتخاب , …. و در روش k ام , m_k انتخاب وجود داشته باشد , برای انجام کار مورد نظر m₁+m₂+…+m_k روش وجود دارد.

اصل ضرب

طبق اصل ضرب، اگر یک رویداد می تواند در m روش و یک رویداد دوم می تواند به n روش پس از وقوع اولین رویداد رخ دهد، سپس این دو رویداد می توانند در   روش رخ دهند.

این اصل به عنوان اصل شمارش بنیادی نیز شناخته می شود.

مثال : مریم برای سفر کاری خود 2 دامن، 4 بلوز و 2 ژاکت بسته بندی کرد. او باید برای هر لباس یک دامن و یک بلوز انتخاب کند و تصمیم بگیرد که ژاکت را بپوشد یا خیر. از اصل ضرب برای یافتن تعداد کل لباس های ممکن استفاده کنید.

برای پیدا کردن تعداد کل لباس‌ها، حاصل ضرب تعداد گزینه‌های دامن، تعداد گزینه‌های بلوز و تعداد گزینه‌های ژاکت را پیدا کنید.

m=2

n=4

p=2

ضرب تعداد گزینه های دامن (2) در تعداد گزینه های بلوز (4) در تعداد گزینه های ژاکت (2) که برابر با 16 است.

16 لباس ممکن وجود دارد.

تعمیم اصل ضرب ریاضی دهم تجربی

اگر انجام کاری شامل k مرحله باشد , طوری که برای انجام مرحله اول m₁  روش , و برای انجام مرحله دوم m₂ روش , و برای انجام مرحله k ام , m_k روش وجود داشته باشد )با فرض اینکه در هر مرحله انتخاب تمام روش های آن مرحله ممکن باشد(، کار مورد نظر با  روش قابل انجام است.

مثال: اگر رقم اول نتواند 0 یا 1 باشد و هیچ رقمی تکرار نشود، چند شماره تلفن 7 رقمی مختلف را می توان تشکیل داد؟

رقم اول: 8 انتخاب (2-9)

رقم دوم: 9 انتخاب (هر کدام به جز اولی)

رقم سوم: 8 انتخاب

رقم چهارم: 7 انتخاب

رقم پنجم: 6 انتخاب

رقم ششم: 5 انتخاب

رقم هفتم: 4 انتخاب

مجموع = 8 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 = 120960 عدد

مثال 2 : تعداد کلمات چهار حرفی با یا بدون معنی را بیابید که می توان از حروف کلمه ROSE که در آن تکرار حروف مجاز نیست ساخته شود.

راه حل: تعداد کلماتی که از این کلمات چهار حرفی می توان تشکیل داد روش های مساوی است که می توانیم __ __ __ __ را با حروف R، O، S، E پر کنیم. توجه داشته باشید که تکرار مجاز نیست. جای اول را می توان با هر یک از چهار حرف پر کرد، بعد از آن جای دوم فقط با سه حرف پر می شود زیرا قبلا از یکی استفاده کرده ایم و تکرار مجاز نیست. مقام سوم فقط با دو حرف پر می شود و رتبه آخر با آخرین حرف باقی مانده پر می شود.

بنابراین، تعدادی از راه‌هایی که می‌توانیم این کار را انجام دهیم، هستند. 4 × 3 × 2 × 1 = 24.

نکته: اگر تکرار حروف مجاز بود، می‌توانستیم همیشه از چهار حرف برای پر کردن هر مکان استفاده کنیم. بنابراین 4 × 4 × 4 × 4 = 256.

مثال 3 : لیلی سعی می کند تصمیم بگیرد چه بپوشد. پیراهن هایی به رنگ های قرمز، بنفش و آبی دارد و شلوارهایی به رنگ های مشکی و سفید دارد. لیلی از بین چند لباس مختلف می تواند انتخاب کند (با فرض اینکه یک پیراهن و یک شلوار انتخاب کند)؟

راه حل : طوریکه از اصل ضرب میدانیم که یک رویداد در n روش , و رویداد دیگر در m روش واقع شود , پس هر دو رویداد در m×n روش میتواند , اتفاق بیافتد.

چون در اینجا 3انتخاب برای پوشیدن پیراهن , و 2 روش برای پوشیدن شلوار وجود دارد , پس برای پوشیدن هر دوی اینها با هم  2×3=6 , 6 رشو وجود دارد.

فاکتوریل چیست ریاضی دهم تجربی

فاکتوریل یک عدد طبیعی n با علامت n! نشان داده می شود.که نشان دهنده حاصل ضرب تمام اعداد طبیعی است که از 1 تا n شروع می شوند، به شمول 1 و  n.

تعریف فاکتوریل ریاضی دهم

تابع عاملی (فاکتوریل) یک تابع ریاضی است که یک عدد صحیح مثبت را در تمام اعداد صحیح مثبت کمتر از آن ضرب می کند. با علامت تعجب (!) نشان داده می شود. فاکتوریل یک عدد صحیح غیر منفی n به صورت زیر تعریف می شود:

فاکتوریل یک عدد طبیعی n با علامت n! نشان داده می شود.که نشان دهنده حاصل ضرب تمام اعداد طبیعی است که از 1 تا n شروع می شوند، به شمول 1 و  n.

نماد تابع فاکتوریل “!” است. اگر باید فاکتوریل عدد n را پیدا کنیم، به صورت n! نوشته می شود.

بیایید چند نمونه را در نظر بگیریم:

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

3! = 3 × 2 × 1 = 6

2! = 2 × 1 = 2

1! = 1

نکته: فاکتوریل 0 طبق قرارداد به صورت 1 تعریف می شود.

0!=1

فرمول های فاکتوریل n عبارتند از:

چگونه فاکتوریل یک عدد را پیدا کنیم؟

برای یافتن فاکتوریل یک عدد مراحل زیر را انجام می دهیم:

• ابتدا بررسی کنید که عدد داده شده که فاکتوریل آن باید ارزیابی شود مثبت است یا منفی.
• اگر عدد منفی باشد فاکتوریل عدد منفی تعریف نشده است.
• اگر عدد مثبت است فاکتوریل عدد را با استفاده از فرمول های فاکتوریل بالا پیدا کنید.

جایگشت ریاضی دهم تجربی

جایگشت به عنوان یک مفهوم ریاضی تعریف می شود که تعداد ترتیبات ممکن را برای مجموعه خاصی از عناصر تعیین می کند. به بیان ساده، روش‌های مختلفی را نشان می‌دهد که در آن‌ها می‌توان داده‌ها را مرتب کرد، که معمولاً از یک لیست گرفته می‌شوند.

به عبارت دیگر، چیدمان برخی از اشیاء به ترتیب معین را جایگشت می گویند.

به عنوان مثال، باید دو عدد از بین {1، 2، 3} را انتخاب کنیم، سپس می‌توانیم به 6 روش همین کار را انجام دهیم. (1، 2)، (2، 1)، (2، 3)، (3، 2)، (1، 3)، و (3، 1).

همانطور که در اینجا می بینیم هر دو (1، 2) و (2، 1) دو جایگشت متفاوت هستند، بر خلاف ؛ ترکیب هایی که (1، 2) و (2، 1) ترکیب یکسانی هستند.

فرمول جایگشت

فرمول جایگشت به صورت زیر ارائه شده است:

n تعداد کل اشیاء است

r تعداد اجسام انتخاب شده در یک بار است

نمایش جایگشت ریاضی دهم تجربی

بازنمودهای مختلفی از جایگشت وجود دارد که معنای یکسانی دارند. برخی از رایج ترین نمادهای جایگشت به شرح زیر است:

• P(n, r)
• nPr
• nPr
• Pn, k

خواص جایگشت

برخی از ویژگی های رایج جایگشت ها به شرح زیر است:

انواع جایگشت ریاضی دهم تجربی

• جایگشت با تکرار
• جایگشت بدون تکرار
• جایگشت چند مجموعه

اجازه دهید این موارد را با مثال حل شده به صورت زیر به تفصیل توضیح دهیم:

جایگشت با تکرار ریاضی دهم تجربی

این ساده ترین مورد است. در چنین مسائل می توان اشیاء را تکرار کرد. بیایید با حل یک مسئله این مبحث را درک کنیم.

مثال: با استفاده از 3، 4، 5 و 7 چند عدد 3 رقمی بزرگتر از 500 می توان تشکیل داد؟

از آنجایی که یک عدد سه رقمی، بزرگتر از 500، 5 یا 7 را در جایگاه صدم خود خواهد داشت، ما برای این مکان 2 انتخاب داریم.

هیچ محدودیتی برای تکرار ارقام وجود ندارد، بنابراین برای 2 رقم باقی مانده، هر کدام 4 انتخاب داریم.

بنابراین مجموع جایگشت ها عبارتند از:

2 × 4 × 4 = 32

جایگشت بدون تکرار ریاضی دهم تجربی

در این دسته از مسائل، تکرار اشیا مجاز نیست. بیایید با حل یک مسئله این مبحث را درک کنیم.

مثال: چند عدد 3 رقمی تقسیم بر 3 را می توان با استفاده از ارقام 2، 4، 6 و 8 بدون تکرار تشکیل داد؟

حل : برای اینکه یک عدد بر 3 بخش پذیر باشد، مجموع ارقام آن باید بر 3 بخش پذیر باشد.

از مجموعه داده شده، ترتیبات مختلفی مانند 444 را می توان تشکیل داد، اما از آنجایی که تکرار مجاز نیست، آنها را در نظر نخواهیم گرفت.

فقط 2 مورد داریم یعنی 2، 4، 6 و 4، 6، 8

تعداد ترتیبات 3! در هر مورد

از این رو تعداد کل جایگشت ها هستند:

جایگشت چند مجموعه ریاضی دهم تجربی

جایگشت زمانی که اجسام متمایز نیستند.

این را می توان به عنوان توزیع n شی در جعبه های r در نظر گرفت که در آن تکرار اشیا مجاز است و هر جعبه می تواند هر تعداد شی را در خود جای دهد.

جعبه 1 می تواند n شی را در خود جای دهد

جعبه دوم می تواند n شی را در خود جای دهد

جعبه سوم می تواند n شی را در خود جای دهد

. .

. .

. .

جعبه rth می تواند n شی را در خود جای دهد

بنابراین تعداد کل ترتیبات عبارتند از:

مثال: یک افسر پلیس هفته ای 3 بار برای تحقیق از صحنه جرم بازدید می کند. اگر محدودیتی در تعداد بازدید در روز وجود ندارد، تعداد راه های برنامه ریزی برای بازدید او را بیابید؟

حل: تعداد روش‌های برنامه‌ریزی اولین بازدید ۷ است. (هر یک از 7 روز)

تعداد راه‌های برنامه‌ریزی برای بازدید دوم 7 است. (هر یک از 7 روز)

تعداد راه‌های برنامه‌ریزی برای بازدید سوم ۷ روز است .(هر یک از ۷ روز)

از این رو تعداد راه های برنامه ریزی برای اولین و دومین و سومین بازدید می باشد.

ترکیب ریاضی دهم تجربی

ترکیب، آرایشی از اشیاء است که در آن ترتیب اهمیتی ندارد. برای محاسبه ترکیب باید از فاکتوریل استفاده کنید. فاکتوریل حاصلضرب تمام اعداد صحیح مثبت برابر و کوچکتر از عدد شماست.

فرمول ترکیبات مفهوم اصلی برای فهمیدن اینکه از چند راه می توانید اقلام را از یک گروه بزرگتر انتخاب کنید، در جایی که ترتیب مهم نیست، است. این در بسیاری از زمینه ها مانند ریاضیات، آمار، علوم کامپیوتر و امور مالی مهم است.

ترکیبات را می توان با جایگشت اشتباه گرفت. با این حال، در جایگشت، ترتیب موارد انتخاب شده ضروری است. به عنوان مثال، ترتیبات ab و ba در ترکیبات با هم برابر هستند (به عنوان یک آرایش در نظر گرفته می شوند)، در حالی که در جایگشت، ترتیبات متفاوت است.

فرمول ترکیب

از نظر ریاضی، فرمول تعیین تعداد آرایش های ممکن با انتخاب تنها چند شی از یک مجموعه بدون تکرار به صورت زیر بیان می شود:

طوریکه:

n – تعداد کل عناصر در یک مجموعه

r – تعداد اشیاء انتخاب شده (ترتیب اشیاء مهم نیست)

! – فاکتوریل

فاکتوریل (که به عنوان “!” ذکر می شود) حاصلضرب تمام اعداد صحیح مثبت کمتر یا مساوی با عدد قبل از علامت فاکتوریل است.

توجه داشته باشید که فرمول بالا فقط زمانی قابل استفاده است که اشیاء یک مجموعه بدون تکرار انتخاب شوند.

مثال: از یک گروه 5 نفره باید یک جفت تشکیل شود. تعداد ترکیب های ممکن را می توان به صورت زیر محاسبه کرد.

حل: