تدریس فصل پنجم ریاضی دهم ریاضی – تابع

فصل پنجم ریاضی دهم

بار اول مفهوم تابع توسط یک ریاضی دان جرمنی به نام لیبنز Leibniz ( 1716-1646) معرفی شد.

تابع یک رابطه یا قاعده ای است که یک کمیت را با کمیت دیگر ارتباط میدهد.

تابع مانند ماشینی است که یک ورودی و یک خروجی دارد. و خروجی به نوعی با ورودی مرتبط است.

در ریاضیات، تابع به عنوان عبارتی تعریف می شود که رابطه بین یک متغیر مستقل (ورودی) و یک متغیر وابسته (خروجی) را توصیف می کند که در آن تنها یک خروجی برای هر ورودی وجود دارد. توابع در زندگی روزمره و در بسیاری از حرفه ها قابل اجرا هستند. به عنوان مثال، مسافتی که یک فرد در یک ساعت طی می کند، با فرض ثابت بودن طول گام بستگی به تعداد قدم های برداشته شده دارد. همین فرد می تواند مسافت پیاده روی خود را به سادگی با تنظیم تعداد قدم های برداشته شده افزایش دهد. به همین ترتیب، میزان سود یک نانوایی ممکن است به تعداد کالاهای فروخته شده بستگی داشته باشد. با فروش بیشتر محصولات، نانوایی سود خود را افزایش می دهد. هر دوی این مثال ها را می توان به صورت تابعی نوشت. توابع به صورت ریاضی در نماد تابع بیان می شوند، مانند: f(x)=x+2

توابع ریاضی، پارامترهایی مانند عدد، حرف یا دیگر انواع ورودی را دریافت می‌کنند. سپس، با انجام یک‌سری فرآیند بر روی پارامتر ورودی، یک خروجی مشخص را به دست می‌آورند.

به صورت اختصاصی تابع در ریاضی را چنین تعریف می نماییم :

تابع در ریاضیات چیست؟

تابع در بین دو مجموعه A و B رابطه ای میباشد, طوری که هر عضو مجموعه A  با یک عضو مجموعه B ارتباط داشته باشد. که مجموعه اولی را بنام دامنه (Domain) و مجموعه دومی را بنام برد (Range) یاد میکنند.

تابع یک عبارت ریاضی است که رابطه بین دو متغیر را تعریف می کند. متغیر مستقل ورودی و متغیر وابسته خروجی است. مقدار خروجی به مقدار ورودی بستگی دارد.

شکل زیر را در نظر بگیرید، هر عنصر ورودی با یک عنصر خروجی مرتبط است. بنابراین، رابطه نشان دهنده یک تابع است.

بیایید مثال دیگری بزنیم. شکل زیر یک تابع را نشان نمی دهد زیرا عنصر ورودی q با دو عنصر مختلف خروجی مرتبط است.

ورودی، رابطه، خروجی

ما روش های زیادی برای توضیح مفاهیم یک تابع داریم، اما همیشه سه بخش اصلی وجود دارد:

• ورودی
• رابطه
• خروجی

مثال : “ضرب در 2” یک تابع بسیار ساده است.

چند نمونه از توابع

2x²یک تابع است.

1+3x نیز یک تابع است.

سینوس، کسینوس و مماس توابعی هستند که در مثلثات استفاده می شوند.

نمایش توابع در ریاضی

ما تابعی را در ریاضیات به صورت زیر نشان می دهیم.

قبلا هم بیان کردیم که تابع مثل یک ماشین عمل میکند . ما می توانیم تابعی را در ریاضیات به عنوان ماشینی تعریف کنیم که مقداری ورودی می گیرد و خروجی منحصر به فردی می دهد. تابع f(x)= x ²در زیر تعریف می شود:

ما می توانیم یک تابع در ریاضیات را با روش های زیر نمایش دهیم:

• نمایش تابع به صورت زوج های مرتب
• به شکل جدول
• به شکل نمو دار مختصاتی

نمایش تابع به صورت زوج های مرتب و نمودار مختصاتی

یک روش برای نشان دادن تابع استفاده از زوج های مرتب است , در این حالت مولفه اول ( ورودی ) و مولفه دوم (خروجی) میباشد.

مثلا:

(4،16) به این معنی است که تابع “4” را می گیرد و “16” را می دهد.

هنگامی که رابطه به صورت زوج مرتبی ارائه می شود، برای تابع چنین تعریفی داریم:

تابع عبارت از مجموعه زوج های مرتب میباشد که مولفه اولی آن تکرار نشده باشند.

اگر  باشد , رابطه s یک تابع را نشان میدهد , چون که مولفه اولی زوج های مرتب آن تکرار نشده است.

نمایش گرافیکی تابع : نمایش تابع با استفاده از نمودار مختصات

دانستن مقادیر x به تابع f(x) اجازه می دهد تا در یک نمودار نمایش داده شود. از آنجایی که y = f(x)، می‌توانیم مقدار مربوط به y را با شروع با مقادیر x پیدا کنیم. در نتیجه، می‌توانیم با استفاده از مقادیر x و y یک نمودار را در یک صفحه مختصات رسم کنیم.

نمودار مختصات یا گراف تابع y=x+3 قرار ذیل ترسیم میشود.

نمایش تابع با استفاده از جدول

یکی دیگر از روش های نمایش تابع , استفاده از جدول است. در جدول تابع یکی از سطر یا ستون ها معرف مقادیر ورودی ( دامنه ) تابع میباشد, و دیگر سطر یا ستون معرف مقادیر خروجی ( برد ) تابع میباشد.

مثال:

جدول بالا ؛ مقادیر ورودی و خروجی تابع  را نشان میدهد.

سطر اول (x) مقادیر ورودی تابع هستند که با گذاشتن این مقادیر در رابطه 2x-1 , خروجی تابع ( سطر دوم ) (y) به دست می آید.

دامنه و برد توابع ریاضی دهم

دامنه در ساده‌ترین شکل آن، تمام مقادیری است که به یک تابع وارد می‌شوند، و برد، همه مقادیری است که بیرون می‌آیند.

دامنه یک تابع مجموعه ای از تمام مقادیر ورودی است که تابع بر اساس آن تعریف می شود. این همه مقادیری است که می توان آن را به تابع طوری که تعریف شده باقی بماند , وصل کرد.

برد یک تابع مجموعه ای از تمام مقادیر خروجی است که تابع در آن تعریف شده است. یا به روشی دیگر، مجموعه ای از تمام مقادیری است که تابع می گیرد.

در یک تابع که به شکل زوج مرتب نشان داده میشود , مولفه اول آن را ( دامنه ) , و مولفه دوم آن را ( برد ) مینامند.

مجموعه دیگری نیز تحت عنوان هم‌دامنه در تعریف تابع حضور دارد. هم‌دامنه شامل مجموعه‌ای از اعداد است که خروجی تابع می‌تواند جزئی از آن‌ها باشد. هم‌دامنه را دامنه مشترک نیز می‌نامند. برای مشخص شدن مفهوم این تعاریف به مثال زیر توجه کنید.

تست خط عمودی ریاضی دهم

تست خط عمودی برای تعیین تابع بودن یا نبودن یک منحنی استفاده می شود. اگر هر منحنی یک خط عمودی را در بیش از یک نقطه قطع کند، منحنی یک تابع نیست.

انتقال توابع ریاضی دهم

اجازه دهید با یک تابع شروع کنیم، در این مورد  است، اما می تواند هر چیزی باشد:

در اینجا چند کار ساده وجود دارد که می توانیم برای جابجایی گراف توابع روی نمودار انجام دهیم:

با افزودن یک ثابت به مقدار y می توانیم آن را به سمت بالا یا پایین حرکت دهیم:

نکته: برای حرکت دادن گراف به پایین، از مقدار منفی برای C استفاده می کنیم.

اگر C>0 باشد , آن را به سمت بالا حرکت می دهد.

اگر C<O باشد , آن را به سمت پایین حرکت می دهد.

با اضافه کردن یک ثابت به مقدار x می توانیم آن را به چپ یا راست حرکت دهیم:

اگر C>0 باشد , آن را به سمت چپ حرکت می دهد.

اگر C<0 باشد , آن را به سمت راست حرکت می دهد.

اما باید C را در هر جایی که x در تابع ظاهر می شود اضافه کنیم , ما ( x+C ) را جایگزین می کنیم در هر جایی کهx است.

یک راه آسان برای به خاطر سپردن آنچه که با اضافه کردن یک ثابت برای نمودار اتفاق می افتد:

برای بالا رفتن به y اضافه کنید

برای رفتن به چپ به x اضافه کنید

با ضرب کل تابع در یک ثابت می توانیم آن را در جهت y کشیده یا فشرده کنیم.

اگر C>1 باشد , گراف را کش میدهد.

اگر   باشد , گراف را فشرده میکند.

با ضرب x در یک ثابت می توانیم آن را در جهت x کشیده یا فشرده کنیم.

اگر  C>1 باشد , گراف را فشرده می کند.

اگر  باشد , گراف را کش میدهد.

با ضرب کل تابع در -1 می‌توانیم آن را وارونه کنیم:

به این بازتاب در مورد محور x نیز می گویند (محوری که در آن y=0 است)

می‌توانیم آن را با ضرب مقدار x در 1- از چپ به راست برگردانیم:

به این بازتاب در مورد محور y نیز می گویند (محوری که در آنx=0 است)

خلاصه انتقال توابع ریاضی دهم