تدریس فصل چهارم ریاضی دهم ریاضی – معادله و نا معادله

فصل چهارم ریاضی دهم

فصل 4 ریاضی پایه دهم در مورد معادله ها و نامعادله ها میباشد. و شامل درس های : معادله درجه دوم و روش های مختلف حل آن , سهمی و تعیین علامت میباشد.

معادله درجه دوم ریاضی دهم

معادلات درجه دوم عبارت های جبری درجه دو هستند و به شکل ax² + bx + c =0  میباشند. برای تعیین درجه یک معادله به بزرگترین توان متغیر نگاه میکنیم, در این معادلات چون بزرگترین توان متغیر عدد 2 است , بناءً بنام معادله درجه دو یاد میشود.

اصطلاح “quadratic” از کلمه لاتین “quadratus” به معنای مربع می آید که به این موضوع اشاره دارد که توان متغیر x در معادله در حالت مربع است.

شکل استاندارد معادله درجه دوم  ax² + bx + c  میباشد که در آن a و b ضرایب، x متغیر، و c جمله ثابت

است. شرط مهم برای اینکه یک معادله , معادله درجه دوم باشد این است که ضریب  x² یک جمله غیر صفر باشد (a ≠ 0).

روش های حل معادلات درجه دوم

یک معادله درجه دوم را می توان برای به دست آوردن دو مقدار x حل کرد. مقداری از x است که به ازای آن، پاسخ معادله برابر با صفر شود.

چهار روش مختلف برای یافتن مقدار x معادله درجه دوم وجود دارد. چهار روش حل معادلات درجه دوم به شرح زیر است.

1 – حل معادله درجه دوم به روش تجزیه

در روش تجزیه برای یک شکل کلی از معادله درجه دوم ax² + bx + c = 0 ، ابتدا باید جمله اصلی را به دو جمله تقسیم کنیم، به طوری که حاصل ضرب عبارت ها برابر با جمله اصلی باشد. در نهایت عوامل مورد نیاز را به شرح زیر بدست می آوریم:

برای فاکتور سازی معادله درجه دوم به شکل x² + bx + c = 0 طور ذیل عمل میکنیم:

مرحله 1: جفت های فاکتور آخرین عدد را بنویسید. (c)

مرحله 2: حالا دو عدد(یک جفت فاکتور) را پیدا کنید که حاصل ضرب آنها برابر با c و مجموع آنها b باشد.

مرحله 3: دو پرانتز بنویسید و متغیر را در ابتدای هر کدام قرار دهید.

مرحله 4: یک عامل را در پرانتز اول بنویسید و فاکتور دیگر را در پرانتز دوم بنویسید. ترتیب مهم نیست، نشانه های عوامل مهم هستند.

مثال:

x²-2x-24

1 ) جفت های فاکتور آخرین عدد( 24 ) را مینویسیم.

فاکتور های عدد 24

1, 24

2, 12

3, 8

4, 6

2)  حالا یک جفت فاکتور ( دو عدد ) را پیدا میکنیم که حاصل جمع آنها برابر با (2-) و حاصل ضرب آنها برابر با (24-) شود.

-6 + 4 = -2 ✔

-6 ✕ 4 = -24 ✔

3 ) دو پرانتز بنویسید و متغیر را در ابتدای هر کدام قرار دهید.

(x    )(x    )

4 )  یک عامل را در پرانتز اول بنویسید و فاکتور دیگر را در پرانتز دوم بنویسید. ترتیب مهم نیست، نشانه های عوامل مهم هستند.

(x-6)(x+4)

ما اکنون به طور کامل معادله درجه دوم را فاکتورسازی کرده ایم.

می توانیم با ضرب پرانتز پاسخ را بررسی کنیم!

روش فاکتور گیری

برای فاکتور سازی معادله درجه دوم به شکل ax² + bx + c = 0 طور ذیل عمل میکنیم:

مرحله 1: اعداد انتهایی (a و c) را با هم ضرب کنید , یک عدد جدید بدست می آید , سپس جفت های عامل این عدد جدید را به ترتیب بنویسید.

مرحله 2: حالا یک جفت فاکتور را پیدا کنید که حاصل ضرب آنها برابر با ac ( عدد جدید ) و حاصل جمع آنها برابر با b باشد.

مرحله 3: عبارت اصلی را بازنویسی کنید، این بار عبارت میانی را به دو عاملی که در مرحله 2 پیدا کردیم تقسیم کنید. ترتیب این عوامل مهم نیست، علائم مهم هستند.

مرحله 4: معادله را از وسط تقسیم کنید و هر نیمه را کاملا فاکتورسازی کنید. عبارات داخل پرانتز باید یکسان باشد.

مرحله 5 : با آوردن محتویات براکت به جلو و نوشتن دو عبارت دیگر در براکت دیگر(مشترک ها را حذف میکنیم)، کل عبارت را فاکتورسازی کنید.

مثال:

1 ) اعداد انتهایی (2و 2-) را با هم ضرب کنید , یک عدد جدید بدست می آید , سپس جفت های عامل این عدد جدید را به ترتیب بنویسید.

2×(-2)=-4

فاکتور های عدد 4

1, 4

2, 2

2 ) حالا یک جفت فاکتور را پیدا کنید که حاصل ضرب آنها برابر با 4- ( عدد جدید ) و حاصل جمع آنها برابر با 3 باشد.

-1 + 4 = 3 ✔

-1 ✕ 4 = -4 ✔

3 ) عبارت اصلی را بازنویسی کنید، این بار عبارت میانی را به دو عاملی که در مرحله 2 پیدا کردیم تقسیم کنید. ترتیب این عوامل مهم نیست، علائم مهم هستند.

4 ) معادله را از وسط تقسیم کنید و هر نیمه را کاملا فاکتورسازی کنید. عبارات داخل پرانتز باید یکسان باشد.

5 ) با آوردن محتویات براکت به جلو و نوشتن دو عبارت دیگر در براکت دیگر(مشترک ها را حذف میکنیم)، کل عبارت را فاکتورسازی کنید.

ما اکنون به طور کامل معادله درجه دوم را فاکتورسازی کرده ایم.

می توانیم با ضرب پرانتز پاسخ را بررسی کنیم!

2 – حل معادلۀ درجه دوم به روش ریشه گیری

اگر a یک عدد حقیقی نامنفی ( بزرگ تر یا مساوی به صفر ) باشد , ریشه های معادله درجه دوم x²= a عبارت اند از :

یعنی:

اگر معادله درجه دوم شامل یک متغیر درجه 2 و یک ثابت (بدون عبارت درجه اول) باشد، موقعیت

مربع در یک طرف و ثابت در طرف دیگر باشد, سپس رادیکال دو طرف را بگیرید.

(به یاد داشته باشید، شما نمی توانید جذر یک عدد منفی را بگیرید، بنابراین اگر این فرآیند منجر به گرفتن شود

جذر یک عدد منفی، هیچ راه حل واقعی وجود ندارد.)

مثال:

3 – حل معادله درجه دو به روش مربع کامل

اگر معادله درجه دوم به شکل ax² + bx + c = 0 باشد , و   باشد و معادله درجه دوم قابل فاکتور گیری نیست، سعی کنید از روش مربع را کامل برای حل معادله استفاده نمایید.

نوت : بیاد داشته باشید اگر  باشد , قبل از اینکه به مراحل بعدی بروید، همه عبارت ها را بر «a» تقسیم کنید.­

مثال:

4 – حل معادلۀ درجۀ دوم به روش فرمول کلی (دلتا)

هر معادله درجه دو به شکل ax² + bx + c = 0 , و  باشد , با استفاده از فرمول درجه دوم می توان برای هر دو راه حل واقعی و خیالی حل کرد:

یک معادله درجه دوم می تواند دو ریشه، یک ریشه یا اصلاً ریشه نداشته باشد. تعداد ریشه های یک معادله درجه دوم را می توان با محاسبه دلتا تعیین کرد که به صورت زیر تعریف می شود:

برای هر معادله درجه دوم که به شکل استاندارد  ax² + bx + c = 0 نوشته شده است، مبین Δ  به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

این سه حالت به شرح زیر است:

(*) : دوریشه مجزا و حقیقی

(**) : دو ریشه یکسان

(***) : ریشه حقیقی ندارد و دو ریشه مختلط دارد

مثال :

سهمی ریاضی دهم

سهمی نمودار یک تابع درجه دوم است. پاسکال اظهار داشت که سهمی برآمدگی یک دایره است. گالیله توضیح داد که پرتابه هایی که تحت تأثیر گرانش یکنواخت قرار می گیرند، مسیری به نام مسیر سهموی را دنبال می کنند. بسیاری از حرکات فیزیکی اجسام یک مسیر منحنی را دنبال می کنند که به شکل سهمی است.

سهمی خمی باز است که از برخورد مخروطی قائم با قاعدهٔ دایره‌ای و صفحه‌ای حاصل می‌شود که با یکی از وترهای مخروط موازی باشد ولی با ارتفاع مخروط موازی نباشد.

تعریف سهمی ریاضی دهم

سهمی مکان هندسی نقاطی است که فاصله هر نقطه روی آن از نقطه ثابت ( کانون ) و خط ثابت ( خط هادی ) مقداری برابر است.

بخش های مختلف یک سهمی عبارتند از :

• خط هادی
• کانون
• محور تقارن : با عبور از کانون، بر خط هادی عمود می‌گردد.
• رأس :  نقطه‌ای که سهمی بیشترین پیچش خود را دارد و دقیقا میان کانون و خط هادی قرار دارد.

معادلات سهمی ریاضی دهم

ساده ترین معادله برای یک سهمی y=x² است.

با قراردادن توان 2 در سمت چپ معادله (y²=x) شکل منحنی به صورت زیر می‌شود.

معادله کلی سهمی عبارت از:  y = a(x-h)² + k یا x = a(y-k)² +h که (h,k)  مختصات رأس میباشد.

معادله ستاندارد سهمی منتظم  y² = 4axمیاشد.

معادلات سهمی‌ها با جهت‌گیری‌های مختلف در شکل زیر نشان‌داده‌شده‌است:

latus rectum : پاره خطی است که از کانون سهمی عبور می کند و عمود بر محور تقارن سهمی است.

مثال : در معادله سهمی y²=24x طول لاتوس رکتوم , رأس و کانون را دریابید.

تعیین علامت چند جمله ای درجه اول ریاضی دهم

برای تعیین نمودن علامت معادله درجه اول , باید ریشه معادله را تعیین کنیم. مثلا برای تعیین نمودن علامت معادله درجه اول ax+b , باید ریشه معادله را تعیین کنیم. برای این کار معادله را مساوی به صفر قرار میدهیم , قیمت x  ی که دریافت میشود ریشه معادله میباشد.

حالا معادله درجه اول را مطابق جدول زیر تعیین علامت میکنیم.

مثال : عبارت y=2x-6 را تعیین علامت نمایید.

حل: ابتدا چند جمله ای درجه اول را برابر با صفر قرار میدهیم و ریشه معادله را درمیابیم.

حالا جدول تعیین علامت را به صورت زیر رسم میکنیم , و علامت ضریب x یعنی a مثبت است. چون ضریب x عدد 2 است که علامت آن مثبت میباشد.

در بالا برای سه قیمت مختلف  x , جواب معادله را بدست آوردیم حالا با استفاده از مختصات بدست آمده , گراف معادله درجه یک بالا را ترسیم میکنیم.

تعیین علامت چندجمله ای درجۀ دوم ریاضی دهم

برای تعیین علامت چند جمله ای درجه دو از جدولی استفاده ‌می‌کنیم که سطر اول آن جواب‌های معادله بین منفی بینهایت تا مثبت بینهایت است و سطر دوم آن تعیین علامت جواب‌های معادله و نقاطی که باعث صفر شدن معادله می‌شوند، خواهد بود.

جهت تعیین علامت عبارت های درجه دوم که به‌صورت کلی ax² + bx + c = 0 هستند , اول باید ریشه های معادله را دریابیم.

برای پیدا کردن ریشه های معادله درجه دو اینجا از روش فرمول کلی یا روش دلتا استفاده میکنیم.

لذا برای حل معادله درجه 2 مورد نظر , در اول معادله را مساوی به صفر قرار میدهیم , و قیمت دلتا را در میبابیم,

و برای مقدار های دلتا سه حالت ذیل را داریم:

اگر دلتا بزرگتر از صفر باشد ,  : معادله دو ریشه حقیقی و متمایز دارد. که این دو ریشه با استفاده از فرمول های زیر بدست می آید:

اگر دلتا مساوی به صفر باشد  : در این صورت معادله درجه دو, دو ریشه حقیقی و یکسان دارد که به آن ریشه های مضاعف نیز میگویند. و ریشه معادله با استفاده از فرمول زیر بدست می آید:

اگر دلتا کوچکتر از صفر باشد ,  : در این صورت معادله درجه دو , ریشه حقیقی ندارد.

برای تعیین علامت معادله درجه دو , در سه حالت دلتا دارای جدول های مختلف است که در پایین با مثال ها آن ها را توضیح داده ایم.

مثال اول : دلتا بزرگتر از صفر

جدول تعیین علامت زمانیکه دلتا بزرگتر از صفر باشد:

در قدم اول مقدار دلتا را پیدا میکنیم تا بعدا ریشه های معادله را دریابیم.

مقدار دلتا بزرگتر از صفر بدست آمده , پس معادله دو ریشه حقیقی و متمایز دارد که با استفاده از فرمول های ذیل دریافت میکنیم.

پس مقدار های x را دریافتیم حالا , با استفاده از جدول تعیین علامت می نماییم.

مثال دوم: دلتا مساوی به صفر

جدول تعیین علامت زمانیکه دلتا مساوی به صفر باشد:

مقدار دلتا مساوی به صفر بدست آمده , پس معادله دو ریشه حقیقی و برابر دارد که با استفاده از فرمول ذیل دریافت میکنیم.

حالا که مقدار x را دریافتیم , با استفاده از جدول تعیین علامت می نماییم.

مثال سوم : دلتا کوچکتر از صفر

جدول تعیین علامت زمانیکه دلتا کوچکتر از صفر باشد:

مقدار دلتا کوچکتر از صفر بدست آمده , پس معادله ریشه حقیقی ندارد و ریشه مختلط دارد.

حالا جدول تعیین علامت این معادله را قرار ذیل رسم میکنیم:

نامعادله ریاضی دهم

نامعادله عباراتی هستند که رابطه بین دو مقدار غیر برابر را تعریف میکنند. نامعادله عبارت های ریاضی هستند که هر دو طرف در آنها برابر نیستند. یک طرف میتواند بزرگتر یا کوچکتر از طرف دیگر باشد. از آنها برای مقایسه دو مقدار یا عبارت استفاده میشود.

اگر A و B دو عبارت جبری باشند , نا معادله هایی که با این دو عبارت ساخته میشوند , به صورت زیرند:

برای حل یک نامعادله می توانیم از خواص زیر استفاده کنیم:

1 – خاصیت جمع

برای عبارت های جبری A و B و C اگر A<B سپسA+C<B+C   .

2 – خاصیت ضرب