تدریس فصل دوم ریاضی دهم ریاضی – مثلثات

ریاضی دهم فصل دوم

فصل دوم ریاضی دهم در مورد مثلثات میباشد که شامل درس های : نسبت های مثلثاتی , دایره مثلثاتی و روابط بین نسبت های مثلثاتی میباشد.

مثلثات شاخه ای از ریاضیات است که به مطالعه مثلث ها می پردازد .در مثلثات، ریاضیدانان روابط بین اضلاع و زوایای مثلث ها را مطالعه می کنند.

مثلثات دهم

مثلث های متشابه

مثلث های متشابه مثلث هایی هستند که شبیه به هم هستند اما اندازه آنها ممکن است دقیقاً یکسان نباشد. یعنی زوایای دو مثلث متشابه با هم مساوی هستند اما اضلاع آنها با هم برابر و هم اندازه نیستند و اضلاع متناظر مثلث ها با هم متناسب هستند.

ما از نماد “∼” برای نشان دادن شباهت استفاده می کنیم. بنابراین، اگر دو مثلث متشابه باشند، آن را به صورت  نشان می دهیم.

هر گاه دو مثلث  باشد , آنگاه داریم:

مثلث قائم الزاویه

مثلثی که یکی از زوایای داخلی آن 90 درجه باشد را مثلث قائم الزاویه می گویند. بلندترین ضلع مثلث قائم الزاویه که ضلع مقابل زاویه قائمه نیز می باشد، هیپوتنوس و دو بازوی زاویه قائمه، ارتفاع و قاعده هستند. در اینجا یک مثلث قائم الزاویه ملاحظه میکنید.

برخی از ویژگی های مثلث قائم الزاویه

• زاویه قائمه همیشه بزرگترین زاویه در یک مثلث قائم الزاویه است.
• وتر، ضلع مقابل زاویه راست، طولانی ترین ضلع است.
• در یک مثلث قائم الزاویه نمی توان هیچ زاویه ی مبهمی وجود داشته باشد.
• مجموع دو زاویه داخلی دیگر مثلث قائم الزاویه برابر با 90 درجه است.
• در یک مثلث قائم الزاویه، نسبت های سینوس، کسینوس، تانژانت و کتانژانت را نسبت های مثلثاتی می نامیم.

مساحت مثلث قایم الزاویه

مساحت مثلث قائم الزاویه برابر است با نصف حاصل‌ضرب ضلع‌های مجاور زاویه قائمه.

مثلث قائم الزاویه و قضیه فیثاغورث ریاضی دهم

قضیه فیثاغورث رابطه بین اضلاع مثلث قائم الزاویه را بیان میکند.

طبق قضیه فیثاغورث مربع اندازه وتر یک مثلث قائم الزاویه برابر است با مجموع مربع دو ضلع دیگر. یعنی:

نسبت های مثلثاتی ریاضی دهم

نسبت های مثلثاتی رابطه بین زوایای داخلی مثلث قائم الزاویه با نسبت ضلع های آن به یکدیگر را نمایش میدهد.

در مثلثات، شش نسبت مثلثاتی وجود دارد که عبارتند از: سینوس، کسینوس، تانژانت، سکانت، cosecant و کتانژانت. این نسبت ها به صورت sin، cos،  cot, tan، sec، cosec(یا csc) به طور خلاصه نوشته می شوند.

با استفاده از مثلث قائم الزاویه زیر , شش نسبت مثلثاتی یک زاویه معین را قرار ذیل دریافت میکنیم.

مقابل یا مجاور بودن ضلع‌ها، به زاویه مورد نظر ما (زاویه غیرقائمه)θ بستگی دارد.

جدول زیر مقادیر نسبت های مثلثاتی زوایای (0-360) درجه را نمایش میدهد.

جدول زیر، رابطه بین سینوس، کسینوس، تانژانت، کتانژانت، سکانت و کسکانت را نمایش می‌دهد.

دایره مثلثاتی ریاضی دهم

دایره بالا، با مرکز مبدأ مختصات و شعاع 1 را درنظر بگیرید.

اگر با حرکت در خلاف جهت عقربه های ساعت به نقطه ای مانند P برسیم, زاویه AOP مثبت است و اگر با حرکت در جهت عقربه های ساعت به نقطه ای مانند Q برسیم, زاویه AOQ منفی است. چنین دایره ای را یک دایره مثلثاتی می نامیم.

دایره مثلثاتی امکان محاسبه نسبت های مثلثاتی، تعیین علامت و اثبات روابط بین آن‌ها را فراهم می‌کند. دایره مثلثاتی به چهار قسمت مساوی تقسیم میشوند که هر قسمت را یک ربع یاد میکنند.

دایره مثلثاتی و مقادیر سینوس و کسینوس در زوایای خاص:

مثال:

با استفاده از دایره مثلثاتی بالا مقدار دقیق  را دریابید.

حل:

علامت نسبت های مثلثاتی ریاضی دهم

تمام نسبت‌های مثلثاتی، در ربع اول دارای علامت مثبت هستند. اما این مسئله برای ربع‌های دیگرصدق نمیکند. علامت نسبت های مثلثاتی در چهار ربع دایره واحد به صورت زیر تعیین می‌شود:

ربع اول: در بازه 0 تا 90 درجه , علامت همه نسبت های مثلثاتی مثبت است.

ربع دوم: در بازه 90 تا 180  درجه , علامت سینوس مثبت و علامت بقیه نسبت های مثلثاتی منفی است.

ربع سوم: در بازه 180 تا 270 درجه یا  , علامت تانژانت و کتانژانت مثبت , علامت سینوس و کسینوس منفی است.

ربع چهارم: در بازه 270 تا 360 درجه یا تا 0 , علامت کسینوس مثبت و علامت بقیه نسبت های مثلثاتی منفی است.

نکته: زاویه های  زوایای مرزی هستند و آنها را در هیچ کدام از ناحیه های فوق در نظر نمی گیریم.

رابطه شیب خط با تانژانت زاویه ریاضی دهم

شیب خط چیست؟

در هندسه تحلیلی، هر خط مستقیم را می‌توان به‌صورت معادله‌ی خط نوشت:

y=mx+b

m: همان شیب خط است.

b: عرض از مبدأ (محلی که خط محور y را قطع می‌کند)

تعریف شیب خط:
شیب خط نشان می‌دهد که اگر یک واحد روی محور x حرکت کنیم، چه‌قدر روی محور y تغییر خواهیم داشت.

زاویه خط با محور x

هر خطی که بر صفحه رسم می‌کنیم، زاویه‌ای با محور افقی (محور x) می‌سازد. این زاویه را معمولاً با حرف θ (تتا) نمایش می‌دهیم.

اگر خط رو به بالا برود → زاویه مثبت است.

اگر خط رو به پایین برود → زاویه منفی است.

تعریف تانژانت زاویه

در مثلثات، تانژانت یک زاویه برابر است با نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور:

در حالت خط، همین تعریف به ما کمک می‌کند تا زاویه را به شیب خط ربط بدهیم.

رابطه شیب خط و تانژانت زاویه

حالا می‌رسیم به اصل مطلب:

m=tan (θ)

یعنی: شیب خط برابر است با تانژانت زاویه‌ای که خط با محور x می‌سازد.

روابط بین نسبت های مثلثاتی ریاضی دهم

برخی از مهمترین فرمول های مثلثاتی عبارتند از :

اتحاد مثلثاتی ریاضی دهم

اتحاد مثلثاتی روابطی هستند که بین توابع مثلثاتی مختلف برقرار هستند. این توابع به ما کمک میکند تا توابع مثلثاتی را ساده کنیم یا تبدیل های خاصی انجام دهیم.

مثلا : این رابطه یک اتحاد مثلثاتی میباشد.