گام به گام آمار و احتمال یازدهم ریاضی
جواب فصل چهارم درس 1 آمار و احتمال یازدهم
جواب فعالیت صفحه 98 امار و احتمال یازدهم
میخواهیم برخی از ویژگیهای مگسهای سفید مزاحم در شهر تهران را بررسی کنیم. آیا برای انجام این کار میتوانیم ویژگیهای همهٔ مگسهای سفید را اندازهگیری کنیم؟ آیا همهٔ آنها در دسترساند؟ آیا زمان و هزینه لازم برای این کار در اختیار داریم؟
جواب:
خیر، عملاً نمیتوان ویژگیهای همهٔ مگسهای سفید تهران را اندازهگیری کرد؛ چون:
- همه در دسترس نیستند
- جمعآوری همهٔ آنها خیلی زمانبر است
- هزینهٔ آن بسیار زیاد است
پس برای این کار معمولاً از نمونهگیری استفاده میکنیم.
جواب کار در کلاس صفحه 98 آمار و احتمال یازدهم
در فعالیت قبل هر مگس سفید یک واحد آماری است. همهٔ مگسهای سفید، که کل واحدهای آماری هستند، جامعه آماری را تشکیل میدهند. اگر سنّ همهٔ مگسهای سفید را در اختیار داشته باشیم، دادههای سن این جامعه را داریم. 100 مگس سفید معرف یک نمونه است.
جواب فعالیت صفحه 99 آمار و احتمال یازدهم
۱- میخواهیم متوسط درآمد کارکنان یک مجتمع تجاری را محاسبه کنیم. اگر این مجتمع از 7 مغازه و یک بخش خدمات تشکیل شده باشد، که روی هم 17 کارکن دارند، چگونه از بین 17 نفر، 6 نفر را به تصادف انتخاب میکنید؟ یک راه ساده برای انجام این کار نوشتن اسامی کارکنان یا شمارهٔ کارمندی آنها روی 17 برگهٔ کوچک و انتخاب تصادفی 6 تا از آنهاست. آیا این روش نمونهگیری، نمونهگیری تصادفی ساده است؟
جواب: بله ، این روش، نمونه گیری تصادفی است.
آیا همهٔ واحدهای جامعه احتمال برابری برای انتخاب دارند؟
جواب: خیر، احتمال برابری ندارند.
در شکل بالا نقشه ای از مجتمع تجاری ترسیم شده که کارکنان با * و دور انتخاب شدگان یک دایره رسم شده است. انجام نمونه گیری تصادفی ساده در عمل با دشواری هایی همراه است. اگر اندازه جامعهٔ بزرگ باشد، یعنی تعداد واحدهای آماری زیاد باشند، دسترسی به فهرستی از اعضای جامعه و دسترسی به اعضای انتخابی، دشوار و ممکن است هزینه بر باشد.
۲- هر یک از 7 مغازه و بخش خدمات را بهصورت یک گروه فرض میکنیم. حال از بین 8 گروه در نظر گرفته شده، سه تا از آنها را به تصادف انتخاب میکنیم و در هر یک سرشماری انجام میدهیم. آیا این روش نمونهگیری سریعتر است؟
جواب: بله، این روش سریعتر است.
سؤال: می خواهیم میانگین نمرات ریاضی دانش آموزان شهر تهران را محاسبه کنیم. اگر فهرست همهٔ دانش آموزان را نداشته باشیم، اما فهرست مدارس موجود باشد، نمونه گیری خوشه ای، راه مناسبی برای گردآوری داده هاست. اگر بودجهٔ کافی یا زمان لازم برای نمونه گیری تصادفی ساده نداشته باشیم آیا این روش مقرون به صرفه است؟
جواب: بله، خیلی مقرون به صرفه است.
۳- اگر بخواهیم یک نمونهٔ 8 تایی شامل دقیقاً 4 مرد و 4 زن از مجتمع تجاری بگیریم، چگونه این کار را انجام میدهیم؟
زمانی که جامعه به دو یا چند بخش تقسیم می شود که عضو مشترکی ندارند، می توان از هر بخش جداگانه نمونه گیری کرد. این کار با افزایش هزینه یا زمان همراه است، ولی انتظار داریم که تفاوت را نیز افزایش دهد.
در واقع داده ها به دو طبقهٔ مجزّا تقسیم شده اند که طبقات از نظر ویژگی مورد بررسی همگن هستند. در صورتی که در نمونه گیری خوشه ای، درون خوشه ها هرچه ویژگی مورد بررسی تفاوت بیشتری داشته باشند بهتر است.
جواب: از تمام مرد های موجود در مجتمع تجاری 4 نفر را به صورت تصادفی انتخاب می کنیم، همچنین 4 نفر زن از تمام زن های موجود در مجتمع تجاری به صورت تصادفی انتخاب می کنیم.
۴ – فرض کنید در مجتمع، 12 نفر حضور دارند. صبر میکنیم که مجتمع تجاری تعطیل شود و هنگام خروج کارکنان میخواهیم نمونهٔ 4 نفری انتخاب کنیم. برای این منظور، همانند شکل صفحهٔ بعد عمل کردهایم. ابتدا از 3 نفر یکی را به تصادف انتخاب میکنیم. در این شکل، نفر اوّل انتخاب شده است. حال با همین رویه برای سه نفر بعد هم، نفر اوّل را انتخاب میکنیم و ادامه میدهیم. این روش نمونهگیری شباهت بیشتری به کدامیک از روشهای نمونهگیری قبلی دارد؟ خوشهای یا طبقهای؟
جواب: شباهت بیشتری به نمونه گیری طبقه ای دارد.
این کار باعث چه نوع صرفهجویی میشود؟
جواب: صرفه جویی در زمان می شود.
آیا اعضای جامعه برای انتخاب شدن در نمونه گیری سامانمند شانسی برابر دارند؟ چرا؟
جواب: بله، شانس برابری دارند، زیرا تعداد واحد آماری هر طبقه با هم برابر است.
جواب کار در کلاس صفحه 101 آمار و احتمال یازدهم
جواب فعالیت صفحه 101 آمار و احتمال یازدهم
از مگسهای سفید با چه روشی میتوان نمونهگیری کرد؟
جواب: روش نمونه گیری تصادفی ساده
فهرستی از آنها نداریم، تعداد آنها را هم نمیدانیم. میتوان چند منطقه از تهران را به تصادف انتخاب کرد و در هر منطقه نمونهٔ در دسترس را انتخاب و بررسی کنیم. آیا این روش نمونهگیری به تمامی واحدهای جامعه شانس انتخاب میدهد؟
جواب: خیر، به تمام واحد های جامعه شناس انتخاب شدن نمی دهند.
نمونه گیری های چهار فعالیت قبل، همگی احتمالی اند. در کدام یک همهٔ واحدهای آماری احتمال برابری برای انتخاب دارند.
جواب: روش سامانمند
جواب کار در کلاس صفحه 102 آمار و احتمال یازدهم
مثال ۱: نمونه گیری از یک قفس بزرگ خرگوش های یک آزمایشگاه
نمونهگیری غیر احتمالی: بدون برنامه ریزی خرگوش هایی را برمی دارد که دستش به آنها می خورد.
نمونهگیری احتمالی: خرگوشها را جابهجا کرده و بدون نگاه کردن، تعدادی خرگوش را بهطور تصادفی انتخاب میکند تا همهٔ خرگوشها شانس یکسانی داشته باشند.
مثال ۲: در مطالعاتی که در آنها فرایند سنجش برای شخصی که سنجیده می شود ناخوشایند یا دردسرآفرین است.
نمونهگیری غیر احتمالی: داوطلبانی که حاضر به پاسخ به سؤالات شما در یک نظرسنجی می شوند.
نمونهگیری احتمالی: افراد بهصورت تصادفی انتخاب شوند و از همهٔ افراد انتخابشده درخواست پاسخگویی شود تا هر فرد شانس یکسانی برای انتخاب داشته باشد.
مثال ۳: نمونهگیری از زغالسنگهای یک واگن
نمونهگیری غیر احتمالی: نمونه در دسترس انتخاب می شود.
نمونهگیری احتمالی: زغالسنگها را مخلوط کرده و نمونهها را از قسمتهای مختلف واگن بهصورت تصادفی انتخاب میکنند تا همهٔ زغالسنگها احتمال یکسانی برای انتخاب داشته باشند.
جواب فعالیت صفحه 102 آمار و احتمال یازدهم
شاید در نگاه اوّل این طور به نظر برسد که انجام نمونه گیری تصادفی ساده کاری آسان است، در حالی که در دنیای واقعی، گاهی چنین نیست. روش های نمونه گیری که به ذهن م یرسند، گاهی مشکلات و ایرادهایی دارند که در نگاه اوّل دیده نمی شوند و استفاده از آنها ما را به نتایجی بسیار دور از واقعیت م یرساند. این موضوع را با چند مثال بهتر متوجه خواهید شد.
فرض کنید آمارگیری می خواهد بداند در یک شهر خانواده ها چند نفره اند. او برای این کار صد نفر را ب هتصادف انتخاب می کند و از آنها میپرسد: «خانواده شما چند نفر است؟»
آیا این روش برای نمونه گیری درست است؟ جواب منفی است! دلیل آن هم این است که واحدهای آماری مورد نظر در این مسئلهٔ خانواده ها هستند نه افراد. آیا خانواده های مختلف احتمال حضور برابر در این نمونه گیری را دارند؟ واضح است که احتمال حضور هر خانواده متناسب با تعداد اعضای آن است و مثلاً احتمال حضور یک خانوادهٔ شش نفره دو برابر احتمال حضور یک خانوادهٔ سه نفره است و این، یعنی شرایط نمون هگیری ساده برقرار نیست.
جواب کار در کلاس صفحه 103 آمار و احتمال یازدهم
فرض کنید در شهری جمعیت کلاسهای پایهٔ ششم دبستان به شکل زیر باشد:
الف) چه تعداد کلاس پایهٔ ششم در این شهر وجود دارد؟ تعداد دانشآموزان پایهٔ ششم چندتاست؟
ب) چه درصدی از کلاسهای پایهٔ ششم بیشتر از 30 دانشآموز دارند؟
جواب:
پ) اگر بهتصادف یک دانشآموز ششم دبستانی را انتخاب کنیم، احتمال اینکه کلاسی که در آن درس میخواند بیشتر از 30 دانشآموز داشته باشد، چقدر است؟
ت) فرض کنید فردی برای اینکه بفهمد کلاسهای ششم دبستان چند نفریاند، تعداد زیادی دانشآموز ششم دبستانی را بهتصادف انتخاب کند و از آنها بپرسد «کلاس شما چند نفره است؟» این کار چه ایرادی دارد؟
جواب:
ث) اگر با روش قبل درصد کلاسهای با بیش از 30 دانشآموز را محاسبه کنیم، نتیجه از جواب واقعی چند درصد فاصله خواهد داشت؟
جواب:
جواب کار در کلاس 2 صفحه 103 آمار و احتمال یازدهم
فرض کنید بخواهیم میزان مطالعهٔ غیردرسی دانشآموزان یک مدرسه را بررسی کنیم. برای این کار این سؤال را طراحی کردهایم و میخواهیم از یک نمونهٔ 30تایی آنرا بپرسیم: «در یک سال گذشته چند کتاب غیردرسی خواندهاید؟»
روشهای زیر را نقد کنید:
الف) پرسیدن سؤال از تعدادی از دانشآموزانی که در کتابخانه هستند.
جواب:
❌ مشکل: سوگیری انتخاب (Selection Bias)
دانشآموزانی که در کتابخانه هستند معمولاً:
- کتابخوانترند
- به مطالعه علاقه بیشتری دارند
- 👉 پس میانگین کتابهای خواندهشده بیشتر از حالت واقعی جامعه خواهد شد.
نتیجه: نمونه نماینده کل دانشآموزان نیست.
ب) گذاشتن تعدادی پرسشنامه در محل رفتوآمد دانشآموزان.
جواب:
❌ مشکل: خودانتخابی (Self-selection Bias)
اینجا:
- فقط کسانی جواب میدهند که علاقه دارند
- معمولاً دانشآموزان با انگیزهتر یا وقتدار پاسخ میدهند
- 👉 کسانی که مطالعه کم دارند ممکن است اصلاً پاسخ ندهند.
نتیجه: نمونه دوباره تصادفی نیست و تمایل به پاسخدهی نتیجه را منحرف میکند.
پ) پرسیدن از دانشآموزانی که صبح وارد مدرسه میشوند و مایلاند به سؤال مذکور جواب دهند.
جواب:
❌ مشکل: هم خودانتخابی + هم غیرتصادفی بودن زمان/مکان
- فقط کسانی پاسخ میدهند که «مایلاند»
- زمان خاص (صبح) و شرایط خاص دارد
- ممکن است گروههایی از دانشآموزان اصلاً وارد نمونه نشوند
- 👉 این روش هم شدیداً بایاسدار است.
شما چه روشی را پیشنهاد میکنید که به نمونهگیری تصادفی ساده نزدیکتر باشد؟
جواب: ✅ روش پیشنهادی (نزدیک به نمونهگیری تصادفی ساده)
✔ بهترین روش:
داشتن لیست کامل همه دانشآموزان و انتخاب 30 نفر بهصورت کاملاً تصادفی (با قرعهکشی یا تولید عدد تصادفی)
یا اگر بخواهیم عملیتر:
- شمارهگذاری همه دانشآموزان
- استفاده از جدول اعداد تصادفی یا Excel
- انتخاب بدون دخالت سلیقه
جواب کار در کلاس صفحه 104 آمار و احتمال یازدهم
از جمله مسائلی که مردم در مورد آنها به نظرسنجیها علاقه زیادی نشان میدهند، انتخابات است. با این وجود، گاهی مردم و گاهی گروههای سیاسی از روشهایی برای کشف نظر مردم استفاده میکنند که آنها را گمراه میکند. در این مورد روشهای زیر را نقد کنید:
الف) پرسیدن نظر دوستان و اطرافیان.
جواب: این روش دچار سوگیری نمونه است، چون دوستان و اطرافیان معمولاً از نظر فکری، اجتماعی و حتی سیاسی شبیه خود فرد هستند. در نتیجه نمونه انتخابشده نماینده کل جامعه نیست و نتیجه نظرسنجی به سمت دیدگاه یک گروه خاص متمایل میشود و تصویر واقعی جامعه را نشان نمیدهد.
ب) طراحی یک نظرسنجی در وبگاهی پرطرفدار و لحاظ کردن سازوکاری که از یک آدرس بیش از یک بار رأی گرفته نشود.
جواب: این روش هم کامل و دقیق نیست. اول اینکه فقط افرادی که به آن وبگاه دسترسی دارند و از آن استفاده میکنند در نظرسنجی شرکت میکنند، پس بخش زیادی از جامعه حذف میشود (سوگیری دسترسی). دوم اینکه شرکتکنندگان به صورت داوطلبانه پاسخ میدهند و معمولاً افراد با نظرهای قویتر بیشتر مشارکت میکنند (سوگیری خودانتخابی). همچنین محدود کردن به یک IP هم مشکل را کامل حل نمیکند، چون یک IP ممکن است مربوط به چند نفر باشد یا یک فرد بتواند IP خود را تغییر دهد.
جواب فعالیت صفحه 106 آمار و احتمال یازدهم
میخواهیم طول قد دانشآموزان یک مدرسه را گردآوری کنیم. برای این منظور چه راهی پیشنهاد میکنید؟
جواب: از تک تک دانش آموزان طول قد شان را سوال کنیم.
جواب کار در کلاس صفحه 107 آمار و احتمال یازدهم
۱- چه راه دیگری برای آمارگیری طول قد دانشآموزان یک مدرسه پیشنهاد میکنید؟
جواب: بهتر است قد همه دانشآموزان مدرسه اندازهگیری شود (سرشماری کامل). اگر امکانش نباشد، یک روش غیرتصادفی هم میتواند استفاده شود مثل انتخاب از هر صنف به یک نسبت مساوی تا همه صنفها شامل شوند.
۲- فرض کنید زمان لازم را برای گردآوری همهٔ دادههای دانشآموزان در اختیار نداشته باشید. اگر بخواهیم نمونهای را انتخاب و آمارگیری کنیم، چه راهی پیشنهاد میکنید که نمونه بهصورت تصادفی انتخاب شود؟
جواب:
الف) نمونهگیری سامانمند:
دانشآموزان را لیست میکنیم، یک عدد شروع تصادفی انتخاب میکنیم، بعد هر nاُمین نفر را برمیداریم (مثلاً هر 10 نفر یک نفر).
ب) نمونهگیری طبقهای:
دانشآموزان را بر اساس صنف (مثلاً ششم الف، ب، ج) تقسیم میکنیم، بعد از هر صنف به نسبت مساوی چند نفر انتخاب میکنیم تا همه صنفها نماینده داشته باشند.
جواب کار در کلاس صفحه 108 امار و احتمال یازدهم
الف) کدام روش برای گردآوری هر یک از دادهها مناسب است؟
1 – تعداد قلم های هر دانش آموز در یک کلاس.
جواب: مشاهده
2 – ساعات خواب دانش آموزان کلاس درس شما در شب گذشته.
جواب: پرسشنامه
3 – طول قدّ دانش آموزان یک کلاس.
جواب: مشاهده
ب) میخواهیم طول قدّ دانشآموزان یک کلاس یا مدرسه را به یکی از سه روش زیر آمارگیری کنیم. هریک از این روشها محدودیتهایی دارند. چگونه میتوان این محدودیتها را از بین برد؟
پرسش نامه: اگر تعداد واحدهای نمونه زیاد باشد، این روش زمان بر است.
جواب: بهجای پرسش از همه، از نمونهگیری تصادفی استفاده کنید تا تعداد پاسخدهندگان کمتر شود.
مشاهده: اگر به دقت زیادی نیاز داشته باشیم، مناسب نیست.
جواب: از ابزارهای دقیقتر (مثل قدسنجهای استاندارد) و تیمهای آموزشدیده استفاده کنید تا خطای اندازهگیری کاهش یابد.
دادگان ها: همیشه اطلاعات ثبتی در اختیار نیست.
جواب: اگر اطلاعات ثبتشده موجود نیست، باید از روشهای میدانی (مانند نمونهگیری یا پرسشنامه) برای تولید دادههای اولیه استفاده کنید.
جواب فعالیت صفحه 108 آمار و احتمال یازدهم
اگر داده های بعضی از کوهنوردان را داشته باشیم؛ یعنی داده های نمونه را در اختیار داریم. نسبت مردانِ کوهنورد به این داده های نمونه ای را، آماره )مقدار آماره( گویند. آماره ها از نمونه ای به نمونهٔ دیگر تغییر می کنند؛ این در حالی است که پارامترهای جامعه همیشه ثابت اند. چرا؟
جواب:
آمارهها از نمونه به نمونه تغییر میکنند چون نمونه فقط بخشی از جامعه است و بهطور تصادفی انتخاب میشود؛ بنابراین ترکیب افراد در هر نمونه فرق میکند و مقدار محاسبهشده (مثل نسبت مردان) هم تغییر میکند.
اما پارامترهای جامعه ثابتاند چون مربوط به کل جامعه هستند و اگر کل افراد را بررسی کنیم، مقدار واقعی یک عدد مشخص و تغییرناپذیر به دست میآید (مثل نسبت واقعی مردان در کل کوهنوردان).
جواب تمرین صفحه 110 و 111 آمار و احتمال یازدهم
۱- در نمونهگیری تصادفی ساده، احتمال اینکه فرد بهخصوصی در اوّلین انتخاب عضو نمونه باشد، چقدر است؟ اگر مسئله با جایگذاری باشد، احتمال اینکه او در دومین انتخاب عضو نمونه باشد، چقدراست؟ اگر مسئله بدون جایگذاری باشد، و از نتیجه انتخاب اوّل اطلاع نداشته باشیم، احتمال اینکه او در دومین انتخاب عضو نمونه باشد، چقدر است؟
جواب:
۲- آیا در نمونهگیری خوشهای احتمال انتخاب واحدهای آماری برابر است؟ چرا؟ احتمال انتخاب خوشهها چطور؟ آیا این روش نمونهگیری احتمالی است؟
جواب: احتمال انتخاب واحدهای آماری لزوماً برابر نیست، زیرا اندازهٔ خوشهها ممکن است متفاوت باشد. اما احتمال انتخاب خوشهها معمولاً برابر در نظر گرفته میشود. چون انتخاب خوشهها بهصورت تصادفی انجام میشود، این روش یک نمونهگیری احتمالی است.
۳- روشهای نمونهگیری احتمالی چه مزیتی بر نمونهگیریهای غیر احتمالی دارند؟
جواب: در نمونهگیری احتمالی همهٔ اعضای جامعه شانس مشخصی برای انتخاب دارند؛ بنابراین اریبی کمتر شده و نتایج نمونه بهتر نمایندهٔ جامعه خواهند بود.
۴- برای هریک از روشهای نمونهگیری احتمالی دو مثال واقعی بیاورید.
جواب:
نمونهگیری تصادفی ساده:
انتخاب ۳۰ دانشآموز از فهرست مدرسه.
انتخاب ۱۰۰ مشتری بانک از فهرست مشتریان.
نمونهگیری منظم:
انتخاب هر دهمین خودرو در جاده.
انتخاب هر پنجمین پروندهٔ بیمارستان.
نمونهگیری طبقهای:
انتخاب دانشآموزان از پایههای مختلف مدرسه.
انتخاب کارمندان زن و مرد یک اداره.
نمونهگیری خوشهای:
انتخاب چند کلاس از یک مدرسه.
انتخاب چند روستا از یک شهرستان.
۵- اگر اندازهٔ جامعه بزرگ باشد، نمونهگیری با جایگذاری و بدون جایگذاری تقریباً مثل هم هستند. در اینصورت، آیا میتوانید راه حل کلی برای انتخاب تصادفی n نمونه از یک فهرست Nتایی ارائه کنید؟
جواب: بله. میتوان به هر عضو جامعه یک شماره اختصاص داد و سپس با استفاده از جدول اعداد تصادفی یا رایانه، n شماره را بهصورت تصادفی انتخاب کرد. اعضای متناظر با این شمارهها، نمونه را تشکیل میدهند.
۶- آیا احتمال انتخاب واحدهای آماری در نمونهگیری طبقهای برابر است؟ در هر طبقه چطور؟
جواب: احتمال انتخاب همهٔ واحدهای آماری لزوماً برابر نیست، زیرا اندازهٔ طبقهها ممکن است متفاوت باشد. اما در داخل هر طبقه، اگر نمونهگیری تصادفی انجام شود، احتمال انتخاب اعضای آن طبقه برابر است.
۷- فرق بین داده و متغیّر چیست؟
جواب:
متغیر ویژگی یا صفتی است که اندازهگیری میشود، مانند سن یا قد.
داده مقدارهای مشاهدهشدهٔ آن متغیر هستند، مانند ۱۶ سال، ۱۷ سال و ۱۸ سال.
۸- فرق بین آماره با پارامتر چیست؟
جواب:
پارامتر عددی است که ویژگی کل جامعه را نشان میدهد.
آماره عددی است که از روی نمونه به دست میآید و برای برآورد پارامتر استفاده میشود.
۹- در یک جامعهٔ آماری، آیا ممکن است که یک پارامتر تغییر کند؟ اگر سه نمونه با اندازهٔ یکسان از یک جامعه داشته باشیم، میتوان سه مقدار متفاوت از یک آماره بهدست آورد؟
جواب: اگر جامعهٔ آماری ثابت باشد، پارامتر تغییر نمیکند؛ زیرا پارامتر ویژگی کل جامعه را نشان میدهد.
اما اگر از یک جامعهٔ ثابت سه نمونهٔ مختلف انتخاب کنیم، ممکن است سه مقدار متفاوت برای آماره به دست آید؛ زیرا آماره به نمونه بستگی دارد.
۱۰- در یک مطالعه از 1261 مشتری غذاهای گیاهی، سؤال شده است که برای کدام وعده غذایی (ناهار یا شام) سفارش دادهاند؟
الف) متغیّر را مشخص کنید. این متغیّر کمّی است یا کیفی؟
جواب: متغیر، وعدهٔ غذایی سفارش دادهشده (ناهار یا شام) است.
این متغیر کیفی است.
ب) کدام روش گردآوری دادهها برای مطالعه مناسب است؟
جواب: روش پرسشنامه یا نظرسنجی مناسب است؛ زیرا اطلاعات مستقیماً از مشتریان جمعآوری میشود.
پ) جامعهٔ آماری در اینجا چیست؟ در این مطالعه پارامتر و آماره چه چیزی میتوانند باشند؟
جواب:
- جامعهٔ آماری: همهٔ مشتریان غذاهای گیاهی.
- پارامتر: نسبت واقعی مشتریانی که ناهار یا شام سفارش میدهند.
- آماره: نسبت ناهار یا شام سفارشدادهشده در میان ۱۲۶۱ مشتری مورد بررسی.
جواب صفحه 111 آمار و احتمال یازدهم
۱۱- کدام روش گردآوری دادهها برای موارد زیر مناسب است؟ یک دلیل برای انتخاب خود ذکر کنید.
– میزان رضایت مشتریان بانک از نحوهٔ برخورد و رسیدگی به درخواستهای آنها.
جواب:
روش گردآوری: پرسشنامه یا مصاحبه
دلیل: میزان رضایت افراد فقط با پرسیدن نظر آنها مشخص میشود.
– سنّ همهٔ دانشآموزان مدرسه بر حسب ماه در پایهٔ دهم.
جواب:
روش گردآوری: مراجعه به پروندهها و اسناد مدرسه
دلیل: تاریخ تولد دانشآموزان در پروندهها ثبت شده است.
– تعداد سرنشینان خودروهای سواری در یکی از محورهای خروجی شهر.
جواب:
روش گردآوری: مشاهده
دلیل: تعداد سرنشینان را میتوان مستقیماً مشاهده و ثبت کرد.
۱۲- فرض کنید جامعهای از N=100 عضو تشکیل شده و میخواهیم نمونهای بهاندازهٔ n=20 از آن انتخاب کنیم. در هر یک از حالتهای زیر احتمال انتخاب هر عضو جامعه بهعنوان نمونه چقدر است؟ نام هر روش نمونهگیری را بگویید.
الف) اگر جامعه به دو قسمت 50تایی تقسیم شود و بخواهیم از هر قسمت نمونهٔ تصادفی 10تایی انتخاب کنیم.
ب) اگر جامعه بهتصادف به 10 قسمت مساوی تقسیم شود و دو قسمت را بهعنوان نمونه انتخاب کنیم.
پ) اگر جامعه بهتصادف به 20 قسمت مساوی تقسیم شود، و از قسمت اوّل یک عضو بهتصادف انتخاب شود. فرض کنید عضو انتخابی دومین عضو باشد و از قسمتهای بعدی نیز دومین عضو انتخاب شود.
جواب:
| نام روش | احتمال | |
| الف | نمونه گیری طبقه ای | 1/50=1/5 |
| ب | نمونه گیری خوشه ای | 1/5 |
| پ | نمونه گیری منظم (سیستماتیک) | 1/5 |
۱۳- دلایل اریبی در نمونهگیریهای زیر را ذکر کنید. کدام روش گردآوری دادهها برای آنها مناسبتر است؟
الف) نمونهگیری راحت: افراد در دسترس را بهعنوان نمونه انتخاب میکنیم.
ب) نمونهٔ غیر تصادفی: عامل شانس در انتخاب نمونه نقشی ندارد.
پ) نمونهگیری ایمیلی (رایانامهای): پرسشنامهای به ایمیلهای انتخاب شده ارسال میشود.
ت) نمونهگیری تلفنی: از دفترچهٔ راهنمای تلفن تعدادی شماره بهتصادف انتخاب میشود.
ث) برخی از اعضای انتخاب شده در نمونه حاضر به پاسخگویی نمیباشند.
جواب:
الف) نمونهگیری راحت
اریبی: فقط افراد در دسترس انتخاب میشوند.
روش مناسب: نمونهگیری تصادفی ساده.
ب) نمونهٔ غیرتصادفی
جواب:
اریبی: همهٔ افراد شانس برابر برای انتخاب ندارند.
روش مناسب: نمونهگیری احتمالی.
پ) نمونهگیری ایمیلی
جواب:
اریبی: افرادی که ایمیل ندارند یا پاسخ نمیدهند حذف میشوند.
روش مناسب: پرسشنامه یا مصاحبهٔ حضوری.
ت) نمونهگیری تلفنی
جواب:
اریبی: افراد بدون تلفن یا شمارهٔ ثبتنشده انتخاب نمیشوند.
روش مناسب: نمونهگیری تصادفی از کل جامعه.
ث) پاسخ ندادن برخی افراد
جواب:
اریبی: ممکن است افراد پاسخنداده ویژگیهای متفاوتی داشته باشند.
روش مناسب: پیگیری مجدد یا جایگزینی تصادفی افراد.
۱۴- نوع روش نمونهگیری مناسبتر را انتخاب کنید.
الف) شرکت واردکنندهٔ خودروهای سنگین برای بررسی عملکرد سامانه ترمز آنها میخواهد ده درصد از خودروهایی را که به مرور زمان وارد کشور میشوند بازرسی کند.
جواب: نمونه گیری منظم
ب) مدیر مدرسهٔ 600 نفری میخواهد نظر دانشآموزان را برای تغییر ساعت تعطیلی مدرسه بر اساس یک نمونهٔ 12تایی بداند.
جواب: نمونه گیری تصادفی ساده
پ) در قسمت قبل اگر مدرسه، شش پایه داشته باشد و ما حدس بزنیم که نظر 6 پایه با هم تفاوت دارد (با فرض برابر بودن تعداد دانشآموزان در پایههای مختلف).
جواب: نمونه گیری طبقه ای
۱۵- چگونه از ارقام 0 تا 9 عدد تصادفی انتخاب میکنید؟ آیا با روش پیشنهادی شما میتوان عدد تصادفی بین اعداد 0 تا 99 انتخاب کرد؟ آیا امکان توسعهٔ روش پیشنهادی شما به انتخاب تصادفی از فهرستی 1000تایی امکانپذیر است؟
جواب:
میتوان از جدول اعداد تصادفی یا رایانه استفاده کرد و یکی از ارقام ۰ تا ۹ را انتخاب نمود.
برای اعداد ۰ تا ۹۹ دو رقم تصادفی و برای فهرست ۱۰۰۰ تایی سه رقم تصادفی انتخاب میشود؛ بنابراین این روش قابل گسترش است.
جواب فصل چهارم درس 2 آمار و احتمال یازدهم
جواب فعالیت صفحه 112 آمار و احتمال یازدهم
کار در کلاس صفحه 113 آمار و احتمال یازدهم
فرض کنید، جامعه از 6 نفر تشکیل شده باشد با درآمد ماهیانه برحسب میلیون تومان به صورت زیر:
| 2 | 5 | 3 | 0 | 1 | 4 |
می خواهیم بر اساس نمونه ای به اندازهٔ 1، میانگین این جامعهٔ 6 عضوی را برآورد کنیم. در واقع باید از بین 6 نفر، یکی را به تصادف انتخاب کنیم. اگر شخصی انتخاب شود که درآمدش 5 باشد، این عدد برآورد میانگین درآمد همهٔ افراد است.
ممکن است فرد انتخابی درآمدی نداشته باشد. آن گاه صفر به عنوان نمونهٔ انتخاب شده و برآورد میانگین درآمد این افراد برابر 0می شود. نمونه های مختلف منجر به برآوردهای متفاوتی می شوند.
در این مثال، پارامتر جامعه چیست و مقدار آن چقدر است؟
جواب: پارامتر، میانگین در آمد جامعه است.
آیا بر اساس هر یک از نمونه ها برآورد به مقدار پارامتر نزدیک است؟
جواب: خیر نزدیک نمی باشد.
چه راه حلی پیشنهاد می کنید که برآورد به پارامتر نزدیک تر شود؟
جواب:اندازهٔ نمونه را بیشتر کنیم تا برآورد معمولاً به میانگین واقعی نزدیکتر شود.
درست حدس زده اید! اگر اندازهٔ نمونه را بیشتر کنیم امکان نزدیک شدن برآورد به پارامتر بیشتر می شود. اندازهٔ نمونه را به 2 افزایش می دهیم. به عنوان مثال، اگر نمونه گیری تصادفی انجام شده شامل درآمدهای 0 و 4 باشد، آن گاه برآورد میانگین جامعه عدد 2 است؛ یعنی پارامتر جامعه که مقدار آن 2/5 بوده است را 2 برآورد کرده ایم.
آیا نمونه تصادفی به اندازه 2 وجود دارد که مقدار پارامتر را دقیقا 2/5 برآورد کند؟
جواب: بله، مثلا نمونه های (5, 0) یا (4, 1) یا (3, 2) میانگینشان 2.5 می شود.
آیا امکان دارد با نمونه های مختلف برآورد های برابر به دست آوریم؟
جواب: بله، چون چند نمونه متفاوت میتوانند میانگین یکسان داشته باشند.
بدون شمارش بگویید امکان مشاهده چند نمونهٔ دوتایی داریم؟
جواب: 15 نمونه دوتایی
اگر نمونه گیری تصادفی ساده به اندازه n=3 از این 6 عضو جامعه انجام دهیم، همانند جدول قبل مقادیر x و احتمال مشاهده هر مقدار را محاسبه و در جدول بنویسید.
جواب:
| xˉ (میانگین نمونه) | نمونه | احتمال |
| 1 | {0, 1, 2} | 1/20 |
| 4/3 ≈ 1.33 | {0, 1, 3} | 1/20 |
| 5/3 ≈ 1.67 | {0, 1, 4}, {0, 2, 3} | 2/20 = 1/10 |
| 2 | {0, 1, 5}, {0, 2, 4}, {1, 2, 3} | 3/20 |
| 7/3 ≈ 2.33 | {0, 2, 5}, {0, 3, 4}, {1, 2, 4} | 3/20 |
| 8/3 ≈ 2.67 | {0, 3, 5}, {1, 2, 5}, {1, 3, 4} | 3/20 |
| 3 | {0, 4, 5}, {1, 3, 5}, {2, 3, 4} | 3/20 |
| 10/3 ≈ 3.33 | {1, 4, 5}, {2, 3, 5} | 2/20 = 1/10 |
| 11/3 ≈ 3.67 | {2, 4, 5} | 1/20 |
| 4 | {3, 4, 5} | 1/20 |
جواب فعالیت صفحه 114 آمار و احتمال یازدهم
جدول بهدست آمده از کار در کلاس قبل را برای n=3 رسم کنید. برای این منظور، بر روی محور طولها مقادیر برآورد میانگین جامعه، یعنی x را مشخص کنید. حال احتمال مشاهده هریک از مقادیر را در نمودار علامت بزنید. این کار برای اندازه نمونههای مختلف انجام شده است. هر نمودار مربوط به اندازه نمونهٔ بهخصوص، n=1,2,3,4,5,6 است.
جواب:
اگر برآورد را بر اساس نمونه ای به اندازهٔ 3 محاسبه کنیم، احتمال اینکه برآورد به پارامتر نزدیک تر باشد، نسبت به n=1, 2 بیشتر است. آیا اگر اندازهٔ نمونه از 3بیشتر شود، احتمال اینکه برآورد به پارامتر نزدیک تر شود، باز هم بیشتر می شود؟
جواب: بله، بیشتر
زمانی که اندازهٔ نمونه به 6 می رسد، برآورد برابر 2/5 می شود.
جواب کار در کلاس صفحه 115 آمار و احتمال یازدهم
جواب فعالیت صفحه 116 آمار و احتمال یازدهم
جواب کار در کلاس صفحه 116 آمار و احتمال یازدهم
خط فقر حداقل درآمدی است که برای زندگی در یک ماه بهازای هر نفر موردنیاز است. خط فقر برابر است با نصف میانگین درآمد افراد جامعه. بر اساس دادههای فعالیت اوّل خط فقر را برآورد کنید. انحراف معیار جامعه را برآورد کنید. اگر فرض کنیم که انحراف معیار بهدست آمده انحراف معیار جامعه است، یک برآورد فاصلهای برای خط فقر محاسبه کنید.
جواب:
تمرین صفحه 119 آمار و احتمال یازدهم
۱- در اوّلین کار در کلاس، جداول را برای نمونهگیری تصادفی ساده به اندازهٔ 4 و 5 تشکیل داده و مقادیر x را در مقابل احتمال مشاهدهٔ هر مقدار، محاسبه و در جدولی بنویسید.
جواب:
۲- از اعداد 0 تا N، دَه عدد بهتصادف انتخاب شده است. اگر اعداد انتخابی بهصورت زیر باشند با دو روش مختلف N را برآورد کنید.
جواب:
۳- رئیس یک دانشگاه علاقهمند است متوسط سنّ دانشجویانی که در سال جاری ثبت نام کردهاند را بداند. برای این منظور، او یک نمونهٔ تصادفی از سنّ 25 دانشجو را انتخاب میکند. میانگین سنّ آنها برابر 22 سال برآورد شده است. اگر در بررسیهای گذشته انحراف معیار طول قد دانشجویان این دانشگاه برابر 1/9 سال باشد، بازهٔ اطمینان 95 درصد برای میانگین سنّ جامعه را محاسبه کنید.
جواب:
۴- طول فاصلهٔ اطمینان، برابر تفاضل حدّ بالا و پایین بازهٔ اطمینان است.
جواب:
الف) اگر اندازهٔ نمونه افزایش یابد، طول فاصلهٔ اطمینان چگونه تغییر میکند؟
جواب: کاهش، زیرا بین طول بازه ی اطمینان با جذر اندازه ی نمونه رابطه ای معکوس وجود دارد
ب) اگر انحراف معیار جامعه افزایش یابد، طول فاصلهٔ اطمینان چگونه تغییر میکند؟
جواب: افزایش، زیرا بین طول بازه ی اطمینان با انحراف معیار جامعه رابطه ی مستقیم وجود دارد.
۵- دادههای زیر نمرات 24 دانشآموز از 100 است.
جواب:
جواب صفحه 120 آمار و احتمال یازدهم
۶- اگر در سؤال قبل 100 بار نمونهگیری را تکرار کنیم؛ یعنی 100 دفعه نمونهای بهاندازهٔ 24 بگیریم و چندبر فراوانی بافت نگاشت 100 میانگین را رسم کنیم میتوان نشان داد که تقریباً بهصورت یک منحنی به شکل زیر است (توجه کنید منظور از 100 عددی بزرگ است، 100 یک مثال است)…
الف) اگر پاره خط آبی، خط سیاه را قطع نکند، چه نتیجه ای باید گرفت؟
جواب: اگر بازهٔ اطمینان، خط سیاه (میانگین جامعه) را قطع نکند، آن نمونه در برآورد میانگین جامعه موفق نبوده است و میانگین واقعی جامعه در آن بازه قرار ندارد.
ب)چند درصد از 20 پار هخط آبی، خط سیاه را قطع کرده اند؟
جواب: چون بازهها با سطح اطمینان ۹۵٪ ساخته شدهاند، انتظار داریم حدود: 95% از بازه های خط سیاه را قطع کنند.
پ) اگر 100 پار هخط آبی را رسم م یکردیم، انتظار داشتید چند تا از آنها خط سیاه را قطع نکنند؟
جواب: کمتر از 5 تا
ت)نتیجه این تمرین تعبیر یک بازهٔ اطمینان 95 درصد است. اگر 100 بار نمونه گیری را تکرار کنیم و 100 بازهٔ اطمینان محاسبه کنیم انتظار داریم 95 درصد از آنها پارامتر میانگین جامعه را در بر گیرند.
جواب:
جواب صفحه 121 آمار و احتمال یازدهم
۷- شاخص پوسیدگی دندان (DMFT) در ایران برای سال 1360 برابر 3 بوده است؛ یعنی بهطور متوسط هر ایرانی دارای در ایران برای سال 1360 برابر 3 بوده است؛ یعنی بهطور متوسط هر ایرانی دارای یک دندان کشیده شده، یک دندان پوسیده و یک دندان پرشده است. بر اساس نمونهای بهاندازهٔ 400 ، این شاخص در سال 1395 برابر 6 شده است (x=2). اگر انحراف معیار دندانهای کشیده شده، پوسیده و پرشده بهترتیب برابر 1، 2 و 1/6 باشد، بازهٔ اطمینان 95 درصدی برای میانگین دندانهای کشیده شده، پوسیده و پرشده محاسبه کنید.
جواب:
۸- پارامتر میانگین جامعه را با چه آمارههایی میتوان برآورد کرد؟ (5 آماره نام ببرید).
جواب: برآورد نقطه ای، برآورد بازه ای، مد، میانه، میانگین
۹- پارامتر واریانس و انحراف معیار جامعه را با چه آمارهایی میتوان برآورد کرد؟
جواب: واریانس جامعه با واریانس نمونه تصادفی و انحراف معیار جامعه با انحراف معیار نمونه تصادفی برآورد میشود.
۱۰- در فصل قبل با چه آمارههایی آشنا شدهاید؟ آنها چه پارامترهایی را برآورد میکردند؟
جواب:
۱۱- مثالهای این درس را با اندازهٔ نمونههای مختلف حل کنید. چه نتیجههایی میتوان گرفت؟ (مقدار برآورد تغییر نمیکند.)
جواب: با افزایش اندازهٔ نمونه، دقت برآورد بیشتر میشود و طول بازهٔ اطمینان کاهش مییابد. در نتیجه، آمارههای نمونه به پارامترهای واقعی جامعه نزدیکتر میشوند.