جواب فصل اول هندسه یازدهم ریاضی
جواب درس 1 فصل 1 هندسه 11
جواب صفحه 10 هندسه یازدهم ریاضی
مفاهیم اولیه و زاویه ها در دایره
الف) اگر نقطه ای مانند B روی دایره C(O, r) باشد، فاصله آن تا مرکز دایره برابر با شعاع دایره است.
ب) اگر نقطه ای مانند C روی دایره C(O, r) باشد، فاصله آن تا مرکز دایره بزرگ تر از شعاع دایره است.
پ) اگر نقطه ای مانند A روی دایره C(O, r) باشد، فاصله آن تا مرکز دایره کوچک تر از شعاع دایره است.
جواب یادآوری صفحه 11 هندسه یازدهم
الف) اگر فاصله خط d از مرکز دایره از شعاع کمتر باشد (OH<r)، خط و دایره در دو نقطه اشتراک دارند یعنی متقاطع اند.
ب) اگر فاصله خط از مرکز دایره با شعاع برابر باشد (OH=r)، خط و دایره در یک نقطه اشتراک دارند یعنی مماسند.
پ) اگر فاصله خط از مرکز دایره از شعاع بزرگ تر باشد (OH>r)، خط و دایره نقطه اشتراک ندارند.
جواب فعالیت صفحه 11 هندسه یازدهم
1 – فرض کنیم خط d بر دایره C در نقطه F مماس است.
الف) نزدیک ترین نقطه خط d به نقطه O کدام است؟ چرا؟
جواب:
نزدیک ترین نقطه خط d به نقطه O، نقطه F است. چون نقطه F تنها نقطه روی خط d میباشد که روی دایره قرار دارد و بقیه نقاط خط d خارج از دایره قرار دارند. OF=R ، چون نقاط دایره با شعاع دایره برابر هستند، اما نقاط خارج از دایره، طول شان از شعاع دایره بیشتر میباشد.
ب) از O به d عمود کنید. این خط عمود، خط d را در کدام نقطه قطع میکند؟ چرا؟
جواب:
در نقطه F قطع میکند، چون اگر فرض بر این بگیریم که در نقطه F قطع نکند، پس یک نقطه دیگری مانند نقطه M وجود دارد، که OM بر خط d عمود است. و نقطه دیگری مانند N روی خط d واقع است که نقطه M بین نقاط N و F واقع است و FM=MN ، در نتیجه:
نظر به قضیه بالا، نقطه N نیز روی دایره است و این با فرض مماس بودن خط d بر دایره تناقض دارد، پس خط مماس در نقطه F بر OF عمود است.
پ) نتیجه: اگر F نقطه ای روی دایره باشد، شعاع OF و خط مماس بر دایره در نقطه F بر هم عمودند.
2 – خط d در نقطه F به شعاع OF عمود است. با تعیین وضعیت همه نقاط خط d نسبت به دایره C نشان دهید این خط با دایره فقط یک نقطه تماس دارد و بنابر این بر دایره مماس است.
جواب:
فرض کنیم M نقطه دیگری غیر از F روی خط d باشد چون OM>OF در نتیجه M برون دایره C است. بنابر این خط d با دایره C فقط یک نقطه مشترک دارد. در نتیجه خط d بر دایره مماس است.
3 – با توجه به قسمت های 1 و 2 اگر نقطه ای مانند F روی دایره داده شده باشد، چگونه میتوانید خط مماس بر دایره را در نقطه F رسم کنید؟
جواب:
مرکز O دایره را به نقطه F وصل میکنیم، حالا در نقطه F یک خط عمود بر شعاع OF رسم می کنیم.
این خط در نقطه F بر دایره مماس خواهد بود.
جواب کار در کلاس صفحه 12 هندسه یازدهم
جواب فعالیت صفحه 13 هندسه یازدهم
فعالیت 2 صفحه 13 هندسه یازدهم ریاضی
جواب فعالیت صفحه 14 هندسه یازدهم
جواب کار در کلاس صفحه 15 هندسه یازدهم
جواب فعالیت صفحه 15 هندسه یازدهم
جواب تمرین صفحه 16 هندسه یازدهم
جواب صفحه 17 هندسه یازدهم ریاضی
جواب: با توجه به اینکه زاویه مرکزی مثلث OAB برابر 60 درجه است، این مثلث متساوی الساقین بوده و به دلیل برابر زوایا، به یک مثلث متساوی الاضلاع تبدیل میشود، بنابر این زوایای قاعده نیز 60 درجه خواهند بود. برای محاسبه فاصله وتر از مرکز دایره، از نقطه O عمودی بر وتر AB رسم میکنیم، و آن را OH می نامیم. می دانیم که در دایره، خط عمود بر وتر از مرکز، وتر را نصف می کند، بنابر این طول پاره خط AH برابر 5 واحد خواهد بود. حال با استفاده از مثلث قائمالزاویه OAH و روابط مثلثاتی (یا ویژگی های مثلث(30-60-90) ، مقدار OH را محاسبه میکنیم.
جواب درس 2 فصل 1 هندسه 11
جواب فعالیت صفحه 18 و 19 هندسه یازدهم
جواب سوال متن صفحه 19 هندسه یازدهم
جواب کار در کلاس صفحه 20 هندسه یازدهم
هرگاه از نقطه M خارج دایره C(O,R) دو مماس بر دایره رسم کنیم و T و ′T نقاط تماس باشند، ثابت کنید:
الف) اندازههای دو مماس برابرند.
جواب: دو مثلث OMT و OMT’ به حالت وتر و یک ضلع زاویه قائمه با هم همنهشت هستند. و بنابراجزای متناظر MT=MT’ .
ب) نیمخط MO نیمساز زاویه ‘TMT است.
جواب: فاصله نقطه O از دو ضلع زاویه TMT’ به یک فاصله است پس بنابر خاصیت نیمساز زاویه نقطه O روی نیمساز این زاویه است. یعنی نیم خط MO نیمساز زاویه TMT’ است.
فعالیت صفحه 21 هندسه یازدهم ریاضی
جواب صفحه 22 هندسه یازدهم
جواب تمرین صفحه 23 هندسه یازدهم
جواب درس 3 فصل 1 هندسه 11
جواب سوال متن صفحه 24 هندسه یازدهم
این نقطه مرکز دایره محیطی چند ضلعی است، چرا؟
جواب:
فرض: چندضلعی محاطی است.
حکم: عمودمنصفهای همهٔ ضلعهای آن در یک نقطه به هم میرسند.
چون چندضلعی محاطی است، همهٔ رأسهای آن روی یک دایره قرار دارند. پس فاصلهٔ هر رأس تا مرکز دایره برابر شعاع دایره است. از طرفی، طبق خاصیت عمودمنصف، هر نقطهای که از دو سر یک پارهخط به یک فاصله باشد، روی عمودمنصف آن پارهخط قرار میگیرد. بنابراین مرکز دایره از دو سر هر ضلع چندضلعی به یک فاصله است و در نتیجه روی عمودمنصف آن ضلع قرار دارد. پس عمودمنصف همهٔ ضلعها در مرکز دایره همدیگر را قطع میکنند.
فرض: عمودمنصفهای همهٔ ضلعهای چندضلعی در یک نقطه به هم میرسند.
حکم: چندضلعی محاطی است.
اگر عمودمنصف همهٔ ضلعها در یک نقطه مشترک باشند، آن نقطه از دو سر هر ضلع فاصلهٔ برابر دارد. پس این نقطه نسبت به همهٔ رأسهای چندضلعی فاصلهای ثابت دارد و بنابراین میتوان دایرهای با مرکز آن نقطه رسم کرد که همهٔ رأسها روی آن قرار بگیرند. در نتیجه، چندضلعی محاطی است.
جواب فعالیت صفحه 24 هندسه یازدهم ریاضی
جواب:
وقتی دایرهای درون یک چندضلعی محاط شده باشد، یعنی هر ضلع چندضلعی بر آن مماس است.
حالا مرکز دایره را در نظر میگیریم:
- فاصلهٔ مرکز دایره تا هر ضلع، برابر شعاع دایره است.
- چون شعاع در نقطهٔ تماس بر مماس عمود است، پس این فاصلهها همگی به یک اندازهاند.
- بنابراین مرکز دایره از دو ضلعِ تشکیلدهندهٔ هر زاویهٔ داخلی، فاصلهٔ مساوی دارد.
- و میدانیم هر نقطهای که از دو ضلع یک زاویه فاصلهٔ برابر داشته باشد، روی نیمساز آن زاویه قرار دارد.
پس مرکز دایره روی نیمسازِ هر زاویهٔ داخلیِ چندضلعی قرار میگیرد.
در نتیجه، مرکز دایره محل برخورد نیمسازهای زاویههای داخلی چندضلعی است.
ب)فرض کنید یک چند ضلعی مانند شکل مقابل به گونه ای باشد که نیمسازهای پاره خط عمود به یک OH یکدیگر را قطع کرده باشند و O زوایای داخلی آن در نقطهٔ برای چند ضلعی مفروض چه OH و شعاع O ضلع چند ضلعی باشد. دایره ای به مرکز نوع دایره ای است؟ چرا؟
جواب:
“چون نقطه O روی نیمساز زوایای داخلی چندضلعی قرار دارد، طبق خاصیت نیمساز، فاصلهٔ این نقطه تا هر یک از اضلاع تشکیلدهندهٔ آن زوایا برابر است. به عبارت دیگر، اگر از O بر اضلاع عمود کنیم (OH₃، OH₂، OH₁ و …)، طول این خطوط عمود (که همان فاصلهها هستند) همگی با هم برابرند.
این خاصیت به این معناست که میتوان دایرهای به مرکز O و شعاع برابر این فاصلهها (مثلاً OH₁) رسم کرد، به طوری که این دایره بر تمام اضلاع چندضلعی در نقاط عمود شدن، مماس باشد.
در نتیجه، چون دایرهای بر تمام اضلاع چندضلعی مماس است، بنا به تعریف، این دایره محاط در چندضلعی است و چندضلعی محیطی نامیده میشود.”
جواب کار در کلاس صفحه 25 هندسه یازدهم ریاضی
جواب سوال متن صفحه 26 هندسه یازدهم
جواب فعالیت صفحه 26 هندسه یازدهم
جواب سوال متن صفحه 27 هندسه یازدهم ریاضی
جواب اثبات صفحه 28 هندسه یازدهم
جواب کار در کلاس صفحه 28 هندسه یازدهم ریاضی
جواب فعالیت صفحه 29 هندسه یازدهم
جواب تمرین صفحه 29 و 30 هندسه یازدهم
جواب صفحه 30 هندسه یازدهم ریاضی
