تدریس فصل سوم ریاضی یازدهم انسانی – جواب فصل 3

فصل سوم ریاضی و آمار یازدهم انسانی

شاخص های آماری (Statistical Indicators)

شاخص های آماری ابزارهایی هستند که با استفاده از آنها میتوان داده ها را خلاصه، تحلیل و مقایسه کرد. این شاخصها به دو دسته ی اصلی تقسیم میشوند:

۱. شاخص های مرکزی (میانگین، میانه، مُد)

۲. شاخص های پراکندگی (دامنه، واریانس، انحراف معیار)

۱. شاخص های مرکزی

این شاخص ها نشان دهندهی مرکزیت داده ها هستند:

الف) میانگین (Mean)

میانگین، متوسط داده هاست و با جمع کردن همه ی اعداد و تقسیم بر تعداد آنها محاسبه میشود.

مثال: نمرات دانش آموزی : 20,18,16,14

ب) میانه (Median)

میانه، عدد وسطی است وقتی داده ها را از کوچک به بزرگ مرتب می کنیم.

– اگر تعداد داده ها فرد باشد: میانه = عدد وسط.

– اگر تعداد داده ها زوج باشد: میانه = میانگین دو عدد وسط.

مثال ۱: داده ها: ۵، ۷، ۹، ۱۱، ۱۵ (تعداد فرد)

5,7,9,11,15

میانه = 9

مثال ۲: داده ها: ۳، ۵، ۷، ۹ (تعداد زوج)

3,5,7,9

ج) مُد (Mode)

مُد، مقداری است که بیشترین تکرار را در داده ها دارد.

– مثال: دادهها: ۵، ۷، ۵، ۹، ۵، ۷

مد= {5} 3 بار تکرار

– اگر همه ی اعداد یکبار تکرار شوند، داده بدون مُد است.

۲. شاخص های پراکندگی

این شاخص ها نشان دهندهی پخش شدگی داده ها هستند:

الف) دامنه (Range)

اختلاف بین بزرگترین و کوچکترین مقدار داده ها:

مثال: داده ها: ۱۰، ۱۵، ۲۰، ۲۵

ب) واریانس (Variance) و انحراف معیار (Standard Deviation)

واریانس میانگین مربع اختلاف هر داده از میانگین است.

انحراف معیار ریشه ی دوم واریانس است.

مثال: داده ها: ۲، ۴، ۶، ۸

 کاربرد شاخص ها

– میانگین: برای داده های متقارن (مانند قد افراد).

– میانه: برای داده های نامتقارن یا دارای نقاط پرت (مانند درآمد افراد).

– مُد: برای داده های طبقه بندی شده (مانند رنگ مورد علاقه).

– دامنه: نشان دهندهی گستردگی کلی داده ها.

– انحراف معیار: میزان پراکندگی حول میانگین را نشان میدهد.

مثال ۲: دمای هوا در ۵ روز: ۱۲، ۱۵، ۱۵، ۱۷، ۲۰

دمای روز ها نزدیک به میانگین است.

جمعبندی

– میانگین، میانه و مُد: مرکز داده ها را نشان میدهند.

– دامنه و انحراف معیار: پراکندگی داده ها را مشخص میکنند.

– انتخاب شاخص مناسب بستگی به نوع داده ها و هدف تحلیل دارد.

سری های زمانی (Time Series) ریاضی یازدهم انسانی

سری های زمانی مجموعه ای از داده ها هستند که در بازه های زمانی منظم ثبت میشوند. این داده ها به ما کمک میکنند روندها، الگوها و تغییرات پدیده ها را در طول زمان تحلیل کنیم. مثال: دمای روزانه هوا، فروش ماهانه یک فروشگاه، یا تعداد مبتلایان به یک بیماری در هفته های مختلف.

۱. اجزای اصلی سری زمانی

هر سری زمانی از چهار جزء اصلی تشکیل شده است:

الف) روند (Trend)

جهت کلی داده ها در بلند مدت.

– مثال: افزایش سالانه فروش گوشی های هوشمند به دلیل پیشرفت تکنولوژی.

– نمودار روند: یک خط صاف یا منحنی که جهت کلی را نشان میدهد.

ب) فصلیت (Seasonality)

الگو های تکرار شونده در بازه های زمانی کوتاه (روزانه، ماهانه، فصلی).

– مثال: افزایش فروش بستنی در تابستان.

– نمودار فصلیت: قله ها و دره های منظم در نمودار.

ج) چرخه (Cycle)

نوسانات بلند مدت بدون دورهی ثابت (معمولاً تحت تأثیر عوامل اقتصادی یا اجتماعی).

– مثال: نوسانات قیمت مسکن در طول یک دهه.

د) جزء نامنظم (Irregular)

تغییرات غیرقابل پیشبینی و تصادفی.

– مثال: کاهش فروش به دلیل اعتصاب کارگران.

تحلیل سری زمانی

برای تحلیل، سری زمانی را به اجزای آن تجزیه میکنیم:

الف) مدل افزودنی (Additive Model)

– مناسب برای زمانی که تغییرات فصلی ثابت است.

ب) مدل ضربی (Multiplicative Model)

– مناسب برای زمانی که تغییرات فصلی نسبتی است (مثلاً درصد افزایش فروش).

پیشبینی سری زمانی

از روشهای ساده مانند میانگین متحرک (Moving Average) استفاده میکنیم:

میانگین متحرک ۳ ماهه

مثال: فروش ماهانه یک فروشگاه (به میلیون تومان):

کاربرد: هموار کردن نوسانات کوتاهمدت برای دیدن روند کلی.

مثال

مثال ۱: دمای هوای تهران در سال ۱۴۰۲

– روند: افزایش متوسط دما به دلیل گرمایش جهانی.

– فصلیت: قله ها در تابستان و دره ها در زمستان.

– جزء نامنظم: روزهای ابری غیرمنتظره.

مثال ۲: فروش محصولات نوروزی

– روند: رشد سالانه به دلیل افزایش جمعیت.

– فصلیت: افزایش فروش در اسفند ماه.

کاربرد های سری زمانی

– هواشناسی: پیشبینی دما و بارش.

– اقتصاد: تحلیل نرخ بیکاری یا تورم.

– بهداشت: پیشبینی شیوع بیماریها.

– تجارت: برنامه ریزی موجودی انبار براساس فروش فصلی.

جواب فصل سوم ریاضی یازدهم انسانی

جواب فصل 3 درس 1 ریاضی و آمار یازدهم

جواب فعالیت صفحه 56 ریاضی یازدهم انسانی

نمونه گیری از هزینه و درآمد خانوارها، یکی از مهم ترین طرح های آمارگیری در هر کشوری است. آیا تاکنون فکر کرده اید متوسط درآمد ماهانهٔ خانوارهای یک کشور را چگونه محاسبه م یکنند؟ سرشماری، روشی مقرون به صرفه برای گردآوری داده ها به منظور پاسخ به این سؤال نیست.

در اینجا صورت ساده تر آن را در نظر م یگیریم. فرض کنید، می خواهیم متوسط درآمد کارکنان یک مؤسسهٔ تجاری را محاسبه کنیم. ده نفر از کارکنان را به صورت تصادفی انتخاب م یکنیم. اگر درآمد ماهانهٔ ده نفر بر حسب هزار تومان به صورت زیر باشد، میانگین و میانهٔ درآمد ماهانهٔ آنها چه قدر است؟

هیئت مدیرهٔ مؤسسهٔ تجاری تصمیم دارد به کارکنانی که درآمد کمتری دارند، یارانه پرداخت کند. به نظر شما به چه کسانی باید یارانه پرداخت شود؟ اگر تعداد اعضای خانوار هر عضو نمونه ب هصورت زیر باشد، میانگین و میانهٔ درآمد هر یک از افراد چه قدر است؟ آیا با داشتن این داد هها نظر شما دربارهٔ سؤال قبل تغییر کرده است؟ یعنی به کدا میک از کارکنان مؤسسه یارانه پرداخت کنیم؟

جواب: به کسانی یارانه پرداخت میکنیم که درامد آنها زیر میانگین باشد.

متوسط درآمد هر عضو خانوار

کار در کلاس صفحه 57 ریاضی یازدهم انسانی

کار در کلاس 2 صفحه 57 ریاضی یازدهم انسانی

جواب فعالیت صفحه 58 ریاضی یازدهم انسانی

می‌خواهیم با پرداخت یارانهٔ ثابت به خانوارها تعداد کسانی را که درآمدی کمتر از خط فقر دارند، کاهش دهیم. اگر بودجهٔ این کار ثابت باشد، به نظر شما آیا آن را بین همهٔ خانوارها تقسیم کنیم یا بین خانوارهایی که درآمدی کمتر از خط فقر داشته‌اند؟ پاسخ خود را برای خط فقر بین‌المللی نیز بیان کنید.

فرض کنید هدف ما کنترل فقر با شاخص بین‌المللی آن باشد و تصمیم گرفته‌ایم که به خانوارهایی که درآمدی کمتر از خط فقر دارند، یارانه دهیم. آیا با این تصمیم به هدف خود رسیده‌ایم؟ برای پاسخ دقیق‌تر به این سؤال، نیاز به معرفی شاخص دیگری داریم. در ادامه نمودار پراکنش نگاشت شاخص‌بهای کالاها و خدمات مصرفی مناطق شهری ایران در طی 5 سال متوالی رسم شده است. این شاخص بر اساس متوسط هزینهٔ حدود 400 نوع کالا، خوراکی و خدمات برای هر ماه محاسبه می‌شود، که از آن جمله می‌توان به هزینه‌های مسکن، پوشاک، سلامت، غذا، حمل ونقل و تحصیل اشاره کرد. البته موارد ذکر شده دارای اهمیت یکسانی در محاسبه نیستند.

این شاخص نسبت به یک سال پایه محاسبه می‌شود، که ارقام ذکر شده در نمودار، درصد تغییرات نسبت به سال پایهٔ 1390 است.

جواب:

جواب کار در کلاس صفحه 59 ریاضی یازدهم انسانی

جواب کار در کلاس صفحه 60 ریاضی یازدهم انسانی

از مدرسه به خانه برمی‌گشتم و داشتم از کنار دکه روزنامه فروشی رد می‌شدم که جمله درشت یکی از روزنامه‌ها نظرم را جلب کرد: «در صورتی که رشد اقتصاد سالانه یک درصد باشد، در سال ۱۴۰۰ نرخ (شاخص) بیکاری تحصیل‌کردگان آموزش عالی به ۴۸ درصد خواهد رسید».

با خودم گفتم پس در زمانی که ما قرار است شاغل شویم، احتمالِ یافتن شغل، پنجاه‌ – پنجاه است. تا به حال به این مسئله توجه نکرده بودم و فکر می‌کردم اگر درس بخوانم، شغل خوبی خواهم داشت و می‌پنداشتم درس خواندن سخت است! اما نسبت به کار پیدا کردن خیلی راحت‌تر است.

این جمله را با معلم درس آمار در میان گذاشتم. او گفت: نرخ بیکاری عبارت است از نسبت جمعیت بیکار به جمعیت فعال. این نرخ با رشد اقتصادی پنج درصد نیز محاسبه شده و اگر رشد اقتصادی ۵ درصد برای کشور به‌دست آید، نرخ بیکاری تحصیل‌کردگان به ۳۶ درصد می‌رسد. سپس او با یک توضیح و چند سؤال، نظرم را درباره همه ماجرا عوض کرد.

بیکار به فردی بالای ۱۶ سال می‌گویند که به‌طور موقت بیکار شده یا در جست‌وجوی شغل باشد یا منتظر شروع یک کار جدید از تاریخ مشخصی باشد. این تعریف برای تمام کشورها یکسان است.

به نظر شما آیا شاخص بیکاری برای چهار زیرگروه رشته‌های تحصیلی یکسان است؟ 

جواب: خیر

در هر رشته چطور؟

جواب: خیر

جواب تمرین صفحه 61 و 62 ریاضی یازدهم انسانی

جواب صفحه 62 ریاضی یازدهم انسانی

۸) شاخص پوسیدگی دندان (DMFT) در سال ۱۳۶۰ در ایران برابر با ۳ بوده است؛ یعنی هر ایرانی به‌طور متوسط دارای یک دندان کشیده شده، یک دندان پوسیده و یک دندان پُر شده است. این شاخص در سال ۱۳۹۵ برابر با ۶ شده است. شاخص در سال ۱۳۹۵ چند درصد افزایش داشته است؟ این شاخص در سال ۱۳۶۰ نسبت به سال ۱۳۹۵ چند درصد کاهش داشته است؟

جواب: شاخص ۶ یعنی فرد در مجموع ۶ دندان آسیب‌دیده دارد که شامل ۲ دندان کشیده، ۲ دندان پوسیده و ۲ دندان پرشده است. مقدار این شاخص در سال ۱۳۹۵ نسبت به سال ۱۳۶۰ دو برابر شده است. همچنین اگر سال ۱۳۹۵ را مبنا قرار دهیم، مقدار شاخص در سال ۱۳۶۰ برابر با نصف آن بوده و در نتیجه ۵۰ درصد کمتر است.

جواب فصل 3 درس 2 ریاضی و آمار یازدهم

جواب فعالیت صفحه 63 ریاضی یازدهم انسانی

– کدام شهر میزان بارندگی بیشتری در پاییز نسبت به زمستان دارد؟

جواب: شهر (ب) در پاییز نسبت به زمستان بارندگی بیشتری دارد.پ

حال نمودار پراکنش نگاشت دما و نمودار میل‌های بارندگی‌های همان دو شهر را با مقیاس‌های متفاوت برای یک سال خاص در یک محور رسم کرده‌ایم.

– در چه فصلی از سال، بارندگی بیشتر است؟

جواب: شهر آ: زمستان، شهر ب: پاییز

– متوسط دمای کدام شهر کمتر است؟ آیا در تمام ماه‌های سال، دمای آن کمتر است؟

جواب: تقریبا برابرند، خیر

جواب کار در کلاس صفحه 64 ریاضی یازدهم تجربی

سری زمانی زیر، نشان دهنده ۶ روز دمای بدن یک بیمار مبتلا به بیماری میکروبی است. او بستری شده و درمانش با آنت یبیوتیک آغاز شده است.

– هر روز چند بار دمای خوانده شده ثبت شده است؟

جواب: ۲۴ نقطه روی نمودار مشخص شده است، اگر آن را بر ۶ روز تقسیم کنیم تعداد دفعات هر روز مشخص خواهد شد. که برابر ۴ می شود.

– دمای بدن بیمار در لحظه بستری شدن چند درجه است؟

جواب:زیر ۳۷ درجه سانتی گراد

– دمای بدن بیمار پس از چند روز به حالت طبیعی بازگشته است؟

جواب: روز ششم

– اگر اولین زمان ثبت دما، ساعت ۷ صبح باشد، نمودار را فقط برای ساعات ۷ صبح رسم کنید. کدام نمودار ساده‌تر به نظر می‌رسد؟ کدامیک جزئیات بیشتری را نشان می‌دهد؟

جواب: صبح ها – نمودار کامل

جواب فعالیت صفحه 65 ریاضی یازدهم انسانی

دمای بدن یک انسان سالم در هر ساعت، طی ۳ روز از ساعت ۷ صبح اندازه‌گیری و در نمودار زیر ارائه شده است.

 – بیشترین دمای بدن چه قدر است؟

جواب: تقریبا ۳۷/۶

– دمای بدن در طول روز اول چه تغییراتی کرده است؟ تغییرات دمای بدن در روز اول را توصیف کنید.

جواب: کم – زیاد – کم، در اوایل روز پایین است از اواسط روز تا نیمه شب بالا رفته و در اواخر شب پایین آمده است.

– آیا این تغییرات در روزهای بعد نیز تکرار شده است؟

جواب: بله
– این منحنی چه ویژگی‌ای دارد؟ (خطی، صعودی یا تناوبی)

جواب: تناوبی

فعالیت صفحه 66 ریاضی یازدهم انسانی

جواب کار در کلاس صفحه 67 ریاضی یازدهم انسانی

جواب فعالیت صفحه 68 ریاضی یازدهم انسانی

جواب تمرین صفحه 68 ریاضی یازدهم انسانی

سؤال ۱: کدام‌یک از داده‌های زیر، سری زمانی است؟ پاسخ خود را توضیح دهید.

الف) تعداد مسافران فرودگاه بوشهر در هر ماه، در ۱۰ سال گذشته

جواب: ✔️ سری زمانی است؛ زیرا تعداد مسافران در زمان‌های متوالی (ماه‌های مختلف) ثبت شده است.

ب) تعداد مشتریان یک تاجر بر حسب مدت زمانی که صرف بازاریابی می‌کند

جواب: ❌ سری زمانی نیست؛ زیرا داده‌ها بر حسب مدت زمان بازاریابی بیان شده‌اند، نه ثبت یک متغیر در زمان‌های متوالی.

پ) تعداد ساعت‌هایی که در معرض نور مستقیم خورشید قرار داریم، شدت آفتاب‌سوختگی

جواب: ❌ سری زمانی نیست؛ زیرا زمان فقط متغیر مستقل آزمایش است و داده‌ها به‌صورت متوالی در طول زمان ثبت نشده‌اند.

۲) اگر نمودارهای شکل زیر، مربوط به سری‌های زمانی باشند، در کدام حالت، درون‌یابی و برون‌یابی خطی بهتری امکان‌پذیر است؟ پاسخ خود را توضیح دهید.

جواب:

جواب صفحه 69 ریاضی یازدهم انسانی

جواب صفحه 70 ریاضی یازدهم انسانی

۷– نرخ تورم در ایران طی سال‌های ۱۳۱۶ تا ۱۳۹۵ در جدول زیر داده شده است.

الف) نمودار سری زمانی داده‌های ده سال به ده سال را رسم کنید.

جواب: 

ب) داده‌ها را با استفاده از قسمت قبل درون‌یابی کنید.

جواب: 

پ) بر روی همان سری زمانی، داده‌های پنج سال به پنج سال را با استفاده از جدول بر روی همان نمودار رسم و خطای درون‌یابی را محاسبه کنید.

جواب: