درس سوم فصل اول ریاضی یازدهم تجربی
معادلات گویا و معادلات رادیکالی ریاضی یازدهم
معادلات گویا (Rational Equations) :
معادله ای که در آن یک یا چند عبارت گویا (کسری) وجود داشته باشد، معادله گویا نامیده می شود. عبارت گویا به کسری گفته می شود که صورت و مخرج آن چندجمله ای (پولینوم) باشند.
به عنوان مثال:
این یک معادله گویا است، زیرا شامل یک عبارت کسری با صورت و مخرج چند جمله ای است.
ویژگی های معادلات گویا:
– مخرج ها نباید صفر باشند: در عبارتهای گویا، مخرج هرگز نمی تواند صفر باشد، زیرا تقسیم بر صفر تعریف نشده است. بنابراین، قبل از حل معادله، باید مقادیری که مخرج را صفر میکنند، مشخص کرده و از دامنه معادله حذف کنیم.
– معادلهها ممکن است چندین جواب داشته باشند: پس از حل معادله، باید جوابها را بررسی کنیم تا مطمئن شویم که مخرج را صفر نمیکنند.
مراحل حل معادلات گویا:
الف) تعیین محدودیت ها (دامنه معادله):
– ابتدا مخرج ها را صفر قرار داده و مقادیر x که مخرج را صفر می کنند، پیدا کنید. این مقادیر را از دامنه معادله حذف می کنیم.
مثال:
چون مخرج در x=2 صفر میشود. بنابراین، x=2 از دامنه معادله حذف می شود.
ب) حذف مخرج ها:
– برای ساده سازی معادله، هر دو طرف معادله را در کوچک ترین مخرج مشترک (LCD) ضرب میکنیم تا مخرج ها حذف شوند.
مثال:
ج) حل معادله خطی یا چند جمله ای:
– پس از حذف مخرج ها، معادله به یک معادله خطی یا چند جملهای تبدیل می شود که به راحتی قابل حل است.
د) بررسی جواب:
– جواب به دست آمده را با محدودیت های دامنه مقایسه می نماییم. اگر جواب در محدودیت ها نباشد، قابل قبول است.
مثال:
در اینجا x=7/2 است و با محدودیت x≠2 مغایرتی ندارد, پس جواب قابل قبول است.
نسبت طلایی و معادلات گویا
نسبت طلایی چیست؟
نسبت طلایی یک عدد خاص و بسیار مشهور در ریاضی است که با حرف یونانی 
نشان میدهند. مقدار تقریبی آن:
اما نسبت طلایی فقط یک عدد ساده نیست؛ در واقع یک رابطهٔ هندسی و ریاضی است که وقتی یک پارهخط را به دو قسمت تقسیم کنیم، به شکلی بهدست میآید که:
یعنی نسبت کل به بخش بزرگتر با نسبت بخش بزرگتر به بخش کوچکتر برابر است.
این برابری باعث میشود یک عدد ویژه بهدست آید که همان نسبت طلایی است.
چرا این نسبت به وجود آمده است؟
از نظر ریاضی، نسبت طلایی از یک الگوی طبیعی و منطقیِ تقسیم متناسب بهوجود آمده است.
انسانها از قدیم متوجه شدند که بعضی شکلها و نسبتها زیباتر، متعادلتر و هماهنگتر به نظر میرسند. بنابراین به دنبال نسبتی گشتند که در آن:
- نه خیلی بلند و کشیده باشد
- نه خیلی کوتاه و فشرده
- و بخشها با هم تناسب طبیعی داشته باشند
نتیجهٔ این جستوجو، رسیدن به نسبت طلایی بود.
پس نسبت طلایی در اصل یک راه برای تقسیم متناسب و هماهنگ است، نه صرفاً یک عدد عجیب.
نسبت طلایی در معادله گویا چگونه پیدا میشود؟
یکی از راههای رسیدن به نسبت طلایی این است که بنویسیم:
اگر پاره خط AB را به دو بخش AC و BC تقسیم کنیم، نسبت طلایی به این شکل تعریف می شود:
مثال:
فرض کنید می خواهید طول دو بخش یک پاره خط را طوری تقسیم کنید که نسبت طلایی رعایت شود. اگر طول کل پاره خط L باشد, آنگاه طول بخش بزرگ تر x و طول بخش کوچک تر L-x باید به این شکل باشند:
این معادله نیز یک معادله گویا است و با حل آن , نسبت طلایی بدست می آید.
معادلات رادیکالی ریاضی یازدهم
برای حل یک معادله رادیکالی می توان جملات را طوری در طرفین تساوی جابه جا کرد که یک عبارت رادیکالی به تنهایی در یک طرف تساوی قرار گیرد. سپس با به توان رساندن طرفین معادله و در صورت لزوم با تکرار این عمل، معادله را از شکل رادیکالی خارج کرد. پس از حل معادله باید مطمئن شویم که جواب های حاصل در معادله اولیه صدق می کنند.
مثلا, معادله زیر یک معادله رادیکالی است.
