پلی لیست ریاضی هشتم درس ششم
جزوه ریاضی هشتم درس 6 (1 صفحه)دانلود
فیلم و جزوه طول سال ریاضی پایه هشتم درس ششم – قسمت اول
ریاضی هشتم فصل ششم
فصل ششم ریاضی پایه هشتم در مورد مثلث میباشد. این فصل از ریاضی هشتم شامل درس های : رابطه فیثاغورث , شکل های هم نهشت , مثلث های هم نهشت و هم نهشتی مثلث های قائم الزاویه میباشد.
ریاضی هشتم فصل 6
ریاضی هشتم درس 6
مثلث
مثلث یک شکل بسته با 3 زاویه، 3 ضلع و 3 رأس است. مثلثی با سه رأس P، Q و R به صورت 
نشان داده می شود.
در مثلث بالا:
این سه زاویه عبارتند از: 
سه ضلع آن عبارت اند از: PQ,QR و RP
این سه رأس عبارتند از P، Q و R
نکته: مجموع تمام زوایای مثلث برابر با 180 درجه است.
ریاضی هشتم 84
فعالیت
1 – روی هر ضلع مثلث های قائم الزاویه زیر یک مربع رسم کرده ایم. با شمارش مربع های شطرنجی، مساحت هر کدام از مربع های ساخته شده را به دست آورید و جدول را کامل کنید.
چه ارتباطی بین عددهای هر سطر می بینید؟
مجموع مساحت های ساخته شده روی ضلع c و b برابر است با مساحت ساخته شده روی ضلع a به عبارت دیگر 
ریاضی هشتم رابطه فیثاغورث
قضیه فیثاغورث چیست؟
قضیه فیثاغورث بیان می کند که اگر مثلثی مثلث قائم الزاویه باشد، مجذور وتر برابر است با مجموع مربع های دو ضلع دیگر. مثلث زیر ABC را مشاهده کنید که در آن 
داریم. در اینجا AB قاعده، AC ارتفاع و BC وتر است. لازم به ذکر است که وتر طولانی ترین ضلع یک مثلث قائم الزاویه است.
ریاضی هشتم 85
معادله قضیه فیثاغورث
معادله قضیه فیثاغورث به صورت بیان می شود که در اینجا c وتر , a و b دو تا ضلع دیگر مثلث قائم الزاویه هستند. از این رو، هر مثلثی با یک زاویه برابر 90 درجه، مثلث فیثاغورث را تولید می کند و معادله فیثاغورث را می توان در مثلث اعمال کرد.
87 ریاضی هشتم
کار در کلاس
1 – علی با قسمتی از دایره ای به شعاع ۱۰ سانتی متر، مخروطی به قطر قاعده ۱۲ سانتی متر ساخته است. ارتفاع این مخروط چقدر است؟
نظر به قضیه فیثاغورث داریم که :
ریاضی هشتم هم نهشتی
شکل های مساوی (هم نهشت)
اگر بتوانیم شکلی را با یک یا چند تبدیل (انتقال، تقارن یا دوران) در صفحه بر شکل دیگر منطبق کنیم، می گوییم این دو شکل باهم هم نهشت (مساوی) اند.
و یا به زبان ساده دو تا شکل داشته باشیم که فقط مکان شان روی صفحه با هم فرق کند ولی اندازه هاشون , ضلع ها و زاویه هاشون با هم مساوی و برابر باشد به آ ن دو شکل, شکل های هم نهشت میگوییم.
شکل های مشابه تصویر بالا را در تصویر پایین با هم جفت کردیم.
اشکال مشابه، اشکالی هستند که به نظر یکسان هستند اما اندازه آنها ممکن است دقیقاً یکسان نباشد. اگر دو شکل به شکلی معادل نیاز داشته باشند، می توان گفت که مشابه هستند، اما احتمالاً از نظر اندازه متفاوت هستند. به این معنی که اشکال مشابه پس از بزرگ شدن یا بزرگنمایی بر روی یکدیگر همپوشانی دارند.
ریاضی هشتم 88
فعالیت
در شکل روبه رو، مثلث های الف، ب، ج و د از انتقال، تقارن یا دوران مثلث قرمز به دست آمده اند و با آن هم نهشت اند. مانند نمونه مشخص کنید از کدام یک تبدیل های انتقال، تقارن یا دوران استفاده شده است.
ضلع ها و زاویه های مساوی در این پنج مثلث را با علامت گذاری روی شکل نشان دهید.
2 – این دو مثلث با یکدیگر هم نهشت‌اند. پس اجزای متناظر آنها نیز با هم مساوی هستند.
با توجه به علامت های روی شکل ها، تساوی ضلع‌ها و زاویه‌های متناظر این دو مثلث را کامل کنید.
ریاضی هشتم 89
کار در کلاس
1 – تصویر ذوزنقه ABCD را پس از دوران °۱۸۰ حول نقطه D رسم کنید و آن راA1B1C1D1 بنامید.
سپس آن را با بردار 
انتقال دهید. شکل جدید را نام گذاری کنید و عبارت هم نهشتی شکل ها را کامل کنید.
2 – با توجه به هم نهشتی شکل های هر قسمت در صورت امکان اندازه ضلع ها و زاویه های متناظر را پیدا کنید و بنویسید.
ریاضی هشتم صفحه 90 و 91
فعالیت
1 – در شکل مقابل ΔABC≅ΔA′B′C اندازه برخی ضلع ها و زاویه ها نوشته شده است. اندازه ضلع‌ها و زاویه‌های دیگر را به دست آورید.
ریاضی هشتم 90
2 – چهار ضلعی DEFG را نسبت به خطی افقی قرینه کرده ایم و چهار ضلعی HIJK را به دست آورده ایم. اندازه برخی از ضلع ها و زاویه ها معلوم است.
اندازه ضلع ها و زاویه های دیگر این چهار ضلعی را به دست آورید.
ریاضی هشتم 91
تمرین
1 – در شکل رو به رو زاویه های مساوی را با رنگ های یکسان مشخص کرده ایم. کدام مثلث ها با مثلث الف هم نهشت اند؟
پاسخ: ب، د، ه، ی، ک، ز، ح
مانند نمونه مشخص کنید که با چه تبدیل یا تبدیل هایی می توان مثلث الف را بر مثلث های هم نهشت با آن منطبق کرد. چهار مورد دیگر بنویسید. پاسخ هایتان را با پاسخ های دوستانتان مقایسه کنید.
جزوه ریاضی هشتم درس 6 (2 صفحه)دانلود
فیلم و جزوه طول سال ریاضی پایه هشتم درس ششم – قسمت دوم
ریاضی هشتم مثلث های هم نهشت
دو مثلث متشابه خواهند بود اگر زوایا مساوی باشند (زوایای متناظر) و اضلاع در نسبت یا نسبت یکسان (اضلاع متناظر) باشند. مثلث های مشابه ممکن است دارای طول های جداگانه اضلاع مثلث ها باشند، اما زوایای آنها باید مساوی باشد و نسبت متناظر آنها با طول اضلاع باید یکسان باشد. اگر دو مثلث شبیه هم باشند یعنی:
تمام زوج های زاویه متناظر مثلث ها با هم برابرند.
تمام ضلع های متناظر مثلث ها متناسب هستند.
ما از نماد “∼” برای نشان دادن شباهت استفاده می کنیم. بنابراین، اگر دو مثلث مشابه باشند، آن را به صورت 
نشان می‌دهیم.
یادگیری فصل 6 ریاضی هشتم
مثال های مثلث های مشابه
مثلث‌های مشابه مثلث‌هایی هستند که جفت‌های زاویه‌ای مربوط به آنها برابر هستند. یعنی مثلث های متساوی الاضلاع شبیه هم هستند. بنابراین تمام مثلث های متساوی الاضلاع نمونه هایی از مثلث های مشابه هستند. تصویر زیر مثلث های مشابه را نشان می دهد، اما باید توجه کنیم که اندازه آنها متفاوت است.
ریاضی هشتم 92
مثال: در تصویر پایین سه تا مثلث هم نهشت را مشاهده می نمایید که تمام زوج های زاویه متناظر مثلث ها با هم برابرند. و تمام ضلع های متناظر مثلث ها متناسب هستند.
سه حالت هم نهشتی دو مثلث
برابری سه ضلع ( ض ض ض )
برابری دو ضلع و زاویه بین ( ض ز ض )
برابر دو زاویه و ضلع بین ( ز ض ز )
ض ز ض ریاضی هشتم
این اختصار نشان دهنده برابری دو ضلع و زاویه بین را در دو مثلث هم نهشت میباشد.
ریاضی هشتم 95
تمرین
1 – در هر قسمت، بعضی از ضلع ها و زاویه های مساوی مشخص شده اند. مواردی را که اطلاعات داده شده برای تشخیص هم‌نهشتیِ دو مثلث کافی است، پیدا کنید و حالت هم‌نهشتی را بنویسید.
الف) ض ز ض
ب) ز ض ز
ج)ض ض ض
95 ریاضی هشتم
2 – در هر شکل، مساوی بودن برخی از اجزای دو مثلث را می‌توان از روابط میان پاره خط‌ها، زاویه‌ها، تعریف دایره یا چهارضلعی‌های خاص نتیجه گرفت. اجزای مساوی را پیدا، و با علامت گذاری مناسب مشخص کنید؛ سپس، حالت هم‌نهشتی دو مثلث را بنویسید.
الف) هر دو مثلث متساوی الاضلاع‌اند. ز ض ز
ب) قطر متوازی الاضلاع رسم شده است. ض ض ض
ج) دو قطر یکدیگر را در مرکز مشترک دو دایره قطع کرده‌اند. ض ز ض
ریاضی هشتم هم نهشتی مثلث های قائم الزاویه
اگر یکی از زوایای حاده یک مثلث قائم الزاویه با زاویه حاده مثلث قائم الزاویه دیگر همخوانی داشته باشد، آنگاه با تشابه زاویه-زاویه، مثلث ها هم نهشت هستند.
ریاضی هشتم 96
ریاضی هشتم فصل شش
شباهت اضلاع
اگر طول اضلاع قائم دو مثلث قائم الزاویه متناسب باشد، آنگاه با تشابه ضلع-زاویه-ضلع مثلث ها مشابه هستند.
تشابه وتر- ضلع قائم
اگر طول وتر و یک ضلع مثلث الزاویه با قسمت های متناظر مثلث قائم الزاویه دیگر متناسب باشد، آن مثلث ها شبیه هم هستند. (می توانید این را با استفاده از قضیه فیثاغورث ثابت کنید تا نشان دهید که جفت سوم ضلع نیز متناسب است.)
با در نظر گرفتن شباهت ضلع – ضلع و تشابه وتر – ضلع با هم، می توان گفت که اگر هر دو ضلع از یک مثلث قائم الزاویه با ضلع های متناظر یک مثلث قائم الزاویه دیگر متناسب باشند، آنگاه مثلث ها شبیه هم هستند.
ریاضی هشتم 97
اگر در یک مثلث قائم الزاویه، یک نیم ساز از زاویه قائم به وتر رسم شود , دو مثلث تشکیل میشود که مشابه مثلث اصلی و هم نهشت یکدیگر هستند.
در تصویر بالا , AC نیم سازی است که از زاویه قائمه به سمت وتر ترسیم شده است.
ریاضی هشتم خلاصه فصل 6
اگر سه مثلث بالا را بطور جداگانه ترسیم نماییم , هم نهشتی این سه تا مثلث های قائم الزاویه را میتوانیم مشاهده نماییم.
ریاضی هشتم 98
فعالیت
شادی و مهتاب داشتند یک کتاب هندسه را مطالعه می‌کردند که به این جمله برخوردند:
«هر نقطهٔ روی عمود مُنَصّف یک پاره‌خط از دو سر آن پاره‌خط به یک فاصله است.»
1- مهتاب پرسید: «چرا این جمله درست است؟»
شادی سعی کرد مثالی برای درستی آن جمله پیدا کند.
او پاره‌خطی کشید و عمودمنصّف آن را رسم کرد. نقطه‌ای را روی آن در نظر گرفت و فاصلهٔ آن نقطه را از دو سر پاره‌خط اندازه گرفت؛ فاصله‌ها مساوی بود.
(یادآوری: فاصله دو نقطه از هم برابر طول پاره خطی است که آن نقاط را به هم وصل می‌کند.)
فکر می‌کنید شادی توانسته است دلیلی برای درستیِ جملهٔ مورد نظر بیاورد؟
باید ثابت کند دو مثلث هم‌نهشتند.
توضیح ادامه فعالیت صفحه 98 ریاضی هشتم را میتوانید بطور کامل و مفصل در فیلم آموزشی ریاضی هشتم درس ششم با تدریس استاد بیرانوند مشاهده نمایید.
ریاضی هشتم 99
تمرین
1 – در هر شکل، بعضی از ضلع ها و زاویه های مساوی مشخص شده‌اند. مواردی را که اطلاعات داده شده برای تشخیص هم‌نهشتی دو مثلث کافی است، پیدا کنید و بنویسید دو مثلث در چه حالتی هم‌نهشت‌اند.
الف) وتر و یک ضلع
ب) وتر و زاویه تند
ج) اطلاعات کافی نیست
د) اطلاعات کافی نیست
99 ریاضی هشتم
2 – در هر شکل از روابط میان پاره خط ها، زاویه ها، تعریف دایره یا چهار ضلعی های خاص می توانیم نتیجه بگیریم که برخی از اجزای دو مثلث با هم مساوی‌اند. اجزای مساوی را پیدا، و با علامت گذاری مناسب مشخص کنید؛ سپس، حالت هم‌نهشتی دو مثلث را بنویسید. ز ض ز
الف) خط d از مرکز دایره می‌گذرد و دو خط a و b بر قطر دایره عمودند.
ب) خط p از مرکز دایره گذشته است. وتر و زاویه تند
ج) نقطه O مرکز مشترک دو دایره و پاره‌خط‌های AB و CD به ترتیب بر OB و OD عمودند. وتر و یک ضلع
3 – در هریک از موارد تمرین (۲)، مشخص کنید هر مثلث را با چه تبدیلی می‌توان بر مثلث دیگر منطبق کرد
اولی دوران ۱۸۰ درجه
دومی دوران ۱۸۰ درجه
سومی تقارن
خلاصه فصل 6 ریاضی هشتم
مثلث های مشابه مثلث هایی هستند که دارای سه مجموعه ضلع متناسب و سه مجموعه اندازه گیری زاویه متجانس هستند. اگر مثلث ها شبیه هم باشند، یک ضریب مقیاس وجود دارد که می تواند برای تعیین طول اضلاع از دست رفته استفاده شود. ضریب مقیاس کسری است که با ایجاد نسبتی از اضلاع متناظر مثلث تعیین می شود. به عنوان مثال، اگر مثلثی دارای طول ضلع های 12، 6 و 10 باشد و ضریب مقیاس 1/2 باشد، طول مثلث دیگر نصف و 6، 3 و 5 است.